A. | 3 | B. | 2+√2 | C. | 2+√3 | D. | 3+√2 |
分析 根據(jù)題意由正弦定理得出12×1=cos(B+C)•c,cosA<0,A為鈍角,cosAcosC≠0;
由sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=-2cosAsinC得出tanA=-3tanC,且tanC>0;
由tanB=-tan(A+C)=-tanA+tanC1−tanAtanC=21tanC+3tanC≤22√3=√33求出B取得最大值\frac{π}{6};
由此求出a、b、c的值,得出△ABC的周長(zhǎng).
解答 解:△ABC中,b=1,\frac{1}{2}sinB=cos({B+C})sinC,
∴\frac{1}{2}×1=cos(B+C)•c,即cosA=-\frac{1}{2c}<0,
∴A為鈍角,∴cosAcosC≠0;
由sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=-2cosAsinC,
可得tanA=-3tanC,且tanC>0,
∴tanB=-tan(A+C)=-\frac{tanA+tanC}{1-tanAtanC}=\frac{-(-2tanC)}{1+{3tan}^{2}C}
=\frac{2}{\frac{1}{tanC}+3tanC}≤\frac{2}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3},
當(dāng)且僅當(dāng)tanC=\frac{\sqrt{3}}{3}時(shí)取等號(hào);
∴B取得最大值\frac{π}{6}時(shí),c=b=1,C=B=\frac{π}{6};
∴A=\frac{2π}{3},a2=b2+c2-2bccosA=3,
∴a=\sqrt{3};
∴三角形的周長(zhǎng)為a+b+c=2+\sqrt{3}.
故選:C.
點(diǎn)評(píng) 本題考查了正弦定理、和差公式、基本不等式的應(yīng)用問題,是綜合性題目.
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A. | 命題“若x2=1,則x=1”的否命題為“若x2=1,則x≠1” | |
B. | “x=-1”是“x2-5x-6=0”的必要不充分條件 | |
C. | 命題“?{x_0}∈R,x_0^2+{x_0}+1<0”的否定是“?x∈R,x2+x+1<0” | |
D. | 命題“若x=y,則sinx=siny”的逆否命題為真命題 |
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A. | -\frac{5}{2}i | B. | -\frac{5}{2} | C. | -\frac{1}{2}i | D. | -\frac{1}{2} |
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A. | 若a>b,則ac2>bc2 | B. | 若a>b>0,則\frac{1}{a}>\frac{1} | ||
C. | 若a<b,則a2<b2 | D. | 若ab>0,a>b則\frac{1}{a}<\frac{1} |
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