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4.在△ABC中,角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c,若b=1,12sinB=cosB+CsinC,則當(dāng)角B取最大值時(shí),△ABC的周長(zhǎng)為( �。�
A.3B.2+2C.2+3D.3+2

分析 根據(jù)題意由正弦定理得出12×1=cos(B+C)•c,cosA<0,A為鈍角,cosAcosC≠0;
由sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=-2cosAsinC得出tanA=-3tanC,且tanC>0;
由tanB=-tan(A+C)=-tanA+tanC1tanAtanC=21tanC+3tanC223=33求出B取得最大值\frac{π}{6};
由此求出a、b、c的值,得出△ABC的周長(zhǎng).

解答 解:△ABC中,b=1,\frac{1}{2}sinB=cos({B+C})sinC,
\frac{1}{2}×1=cos(B+C)•c,即cosA=-\frac{1}{2c}<0,
∴A為鈍角,∴cosAcosC≠0;
由sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=-2cosAsinC,
可得tanA=-3tanC,且tanC>0,
∴tanB=-tan(A+C)=-\frac{tanA+tanC}{1-tanAtanC}=\frac{-(-2tanC)}{1+{3tan}^{2}C}
=\frac{2}{\frac{1}{tanC}+3tanC}\frac{2}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3},
當(dāng)且僅當(dāng)tanC=\frac{\sqrt{3}}{3}時(shí)取等號(hào);
∴B取得最大值\frac{π}{6}時(shí),c=b=1,C=B=\frac{π}{6}
∴A=\frac{2π}{3},a2=b2+c2-2bccosA=3,
∴a=\sqrt{3};
∴三角形的周長(zhǎng)為a+b+c=2+\sqrt{3}
故選:C.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正弦定理、和差公式、基本不等式的應(yīng)用問題,是綜合性題目.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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