Question

橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別是F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），過F₁斜率為1的直線l與橢圓C相交于A，B兩點，且|AF₂|，|AB|，|BF₂|成等差數(shù)列．
（1）求證：b=c；
（2）設(shè)點P（0，-1）在線段AB的垂直平分線上，求橢圓C的方程．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）根據(jù)|AF₂|，|AB|，|BF₂|成等差數(shù)列，可得2|AB|=|AF₂|+|BF₂|，利用橢圓定義可得|AB|=

4

3

a．設(shè)l：x=y-c，代入橢圓C的方程，整理得（a²+b²）y²-2b²cy-b⁴=0（*），利用韋達定理可得

4

3

a，從而可證b=c． 
（2）由（1）有b=c，方程（*）可化為3y²-2by-b²=0，根據(jù)|PA|=|PB|知PM為AB的中垂線，可得k_PM=-1，從而可求b=3，進而可求橢圓C的方程．

解答： 解：（1）∵|AF₂|，|AB|，|BF₂|成等差數(shù)列
∴2|AB|=|AF₂|+|BF₂|，
由橢圓定義|AB|+|AF₂|+|BF₂|=4a，
所以，|AB|=

4

3

a．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），F(xiàn)₁（-c，0），l：x=y-c，
代入橢圓C的方程，整理得（a²+b²）y²-2b²cy-b⁴=0，（*）
則|AB|²=（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²=2（y₁-y₂）²=2[（y₁+y₂）²-4y₁y₂]
=2[（

2b2c

a2+b2

）²+

4b2

a2+b2

]=

2×4b4

(a2+b2)2

•[c2+a2+b2]=

8b4

(a2+b2)2

•2a2，
于是有

4

3

a=

4b2

a2+b2

•a，化簡得a=

2

b，故b=c．
（2）由（1）有b=c，方程（*）可化為3y²-2by-b²=0，
設(shè)AB中點為M（x₀，y₀），則y₀=

1

2

（y₁+y₂）=

b

3

，
又M∈l，于是x₀=y₀-c=-

2b

3

，
由|PA|=|PB|，知PM為AB的中垂線，k_PM=-1，
由P（0，-1），得-1=

b 3 +1

- 2b 3

，解得b=3，a²=18，
故，橢圓C的方程為

x2

18

+

y2

9

=1．

點評：本題重點考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查等差數(shù)列的性質(zhì)，考查兩點間的距離公式，解題的關(guān)鍵是利用點p（0，-1）在線段AB的垂直平分線上，求得斜率為-1．