Question

若函數(shù)f（x）=x³-bx+1有且僅有兩個(gè)不同零點(diǎn)，則b的值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：若函數(shù)f（x）恰好有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，等價(jià)為函數(shù)的極值為0，建立方程即可得到結(jié)論

解答： 解：∵函數(shù)f（x）=x³-bx+1，
∴f′（x）=3x²-b，
若b≤0，函數(shù)f′（x）=3x²-b≥0，此時(shí)f（x）單調(diào)遞增，不滿足條件，
若b＞0，由f′（x）=3x²-b=0得x=±

3b

3

，可驗(yàn)證x=±

3b

3

是函數(shù)f（x）的兩個(gè)極值點(diǎn)，
若函數(shù)f（x）恰好有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，
則f（±

3b

3

）=0，
∵f（0）=1＞0，∴只能有f（

3b

3

）=0，
即（

3b

3

）³-b（

3b

3

）+1=0，
化簡(jiǎn)為b 

3

2

•（-

2 3

9

）+1=0，
解得b=3•4 -

1

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用以及切線方程的求解，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義是解決本題的關(guān)鍵．