Question

我們把一系列向量a_i（i=1，2，3，…n）按次序排成一列，稱之為向量列，記作{

an

}．已知非零的向量列滿足：

a1

=(x1，y1)，

an

=（x_n，y_n）=

1

2

(xn-1-yn-1，xn-1+yn-1)（n≥2）．
（1）證明數列{|

an

|}是等比數列；
（2）設θ_n表示向量

an-1

，

an

的夾角的弧度數（n≥2），若b_n=

π

4n(n-1)θn

，S_n=b₂+b₃+…+b_n，求S_n；
（3）設

a1

=(1，2)，把

a1

，

a2

，…，

an

中所有與

a1

共線的向量按原來的順序排成一列，記為

d1

，

d2

，…，

dn

，…，令

ODn

=

d1

+

d2

+…+

dn

，O為坐標原點，求點列{D_n}的極限點D的坐標．（注：若點D_n坐標為（t_n，v_n），

lim

n→∞

tn=t，

lim

n→∞

vn=v，則點D（t，v）為點列{D_n}的極限點．

Answer 1

考點：數列與向量的綜合,數列的極限

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）得出|

a1

|≠0，

| an |

| an-1 |

=

2

2

，運用等比數列的定義判斷，（2）化簡得出b_n=

π

4n(n-1)θn

=

1

n(n-1)

=

1

n-1

-

1

n

，裂項求解，（3）根據向量的平行得出t_n=

1-(- 1 4 )n

1-(- 1 4 )

=

4

5

[1-(-

1

4

)n]，v_n=2×

1-(- 1 4 )n

1-(- 1 4 )

=

8

5

[1-(-

1

4

)n]

lim

n→∞

tn=

4

5

，

lim

n→∞

vn=

8

5

，求解即可．

解答： 解：（1）|

an

|=

1

2

(xn-1-yn-1)2+(xn-1+yn-1)2

=

2

2

x 2 n-1 + y 2 n-1

=

2

2

|

an-1

|，
∵|

a1

|≠0，

| an |

| an-1 |

=

2

2

∴數列{|

an

|}是等比數列
（2）∵cosθ_n=

an-1 • an

| an-1 || an |

=

(xn-1，yn-1)• 1 2 (xn-1-yn-1，xn-1+yn-1)

2 2 | an-1 |2

=

1 2 ( x 2 n-1 + y 2 n-1 )

2 2 ( x 2 n-1 + y 2 n-1 )

=

2

2

，
∴θ_n=

π

4

，n≥2，
∴b_n=

π

4n(n-1)θn

=

1

n(n-1)

=

1

n-1

-

1

n

，
∴S_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=1-

1

n

，n≥2，
（3）

a1

=(1，2)，

a2

=(-

1

2

，

3

2

)，

a3

=(-1，

1

2

)，

a4

=(-

1

2

，

3

2

)，

a5

=(-

1

4

，-

1

2

)=-

1

4

(1，2)
∴

a1

∥

a5

∥

a9

∥…
即

dn

=

a4n-3

，

dn

=(-

1

4

)n-1(1，2)
∴t_n=

1-(- 1 4 )n

1-(- 1 4 )

=

4

5

[1-(-

1

4

)n]，v_n=2×

1-(- 1 4 )n

1-(- 1 4 )

=

8

5

[1-(-

1

4

)n]
∴

lim

n→∞

tn=

4

5

，

lim

n→∞

vn=

8

5

∴極限點D的坐標(

4

5

，

8

5

)

點評：本題綜合考查了數列的性質，求和公式，裂項的思想，屬于綜合題．