【題目】已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù)， .

（1）求證： ；

（2）若存在，使，求的取值范圍；

（3）若對任意的恒成立，求的最小值.

【答案】（1）見解析（2）或（3）.

【解析】試題分析：

(1)由題意可得函數(shù)的最小值，所以.

(2)原問題等價(jià)于函數(shù)有零點(diǎn)時(shí)的的取值范圍.分類討論：①當(dāng)時(shí)， 有零點(diǎn).②當(dāng)時(shí)， 無零點(diǎn).③當(dāng)時(shí)， 有零點(diǎn).則的取值范圍是或.

(3)原問題即.構(gòu)造函數(shù)，其值域?yàn)?/span>，且.結(jié)合導(dǎo)函數(shù)可得在上為減函數(shù)，所以，. 記區(qū)間，構(gòu)造新函數(shù)，結(jié)合題意討論可得的最小值為.

試題解析：

（1）令，得，且當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)， ，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在處取得最小值. 因?yàn)?/span>，所以.

（2）設(shè)，題設(shè)等價(jià)于函數(shù)有零點(diǎn)時(shí)的的取值范圍.

①當(dāng)時(shí)，由，所以有零點(diǎn).

②當(dāng)時(shí)，

若，由，得；

若，由（1）知， ，所以無零點(diǎn).

③當(dāng)時(shí)， ，又存在， ，所以有零點(diǎn).

綜上， 的取值范圍是或.

（3）由題意， ，因?yàn)?/span>，所以.

設(shè)，其值域?yàn)?/span>，

由于，所以.

又，所以在上為減函數(shù)，所以，.

記區(qū)間，則.①

設(shè)函數(shù)，

一方面， ；

另一方面， ，

存在，

所以，使，即，所以.②

由①，②知， ，

從而，即的最小值為.

練習(xí)冊系列答案
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（1）若，求證：函數(shù)；

（2）由（1）分析可知， 是周期函數(shù)且是奇函數(shù)，于是張三同學(xué)得出兩個(gè)命

題：命題甲：集合中的元素都是周期函數(shù).命題乙：集合中的元素都是奇函數(shù). 請對此

給出判斷，如果正確，請證明；如果不正確，請舉反例；

（3）若，數(shù)列滿足： ，且 ，數(shù)列的前項(xiàng)

和為，試問是否存在實(shí)數(shù)、，使得任意的，都有成立，若

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【題目】已知函數(shù).

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(Ⅱ)當(dāng)時(shí)， 恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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