Question

已知函數(shù)f（x）=x-

k

x

（k∈R）過點（2，0）
（1）判斷函數(shù)f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性并證明；
（2）討論關(guān)于x的方程|f（x）|=t+

5

4

x（t∈R）的正根的個數(shù)．

Answer 1

考點：根的存在性及根的個數(shù)判斷,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)與方程的綜合運用

專題：計算題,分類討論,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）求出k=4，直接利用函數(shù)的單調(diào)性的定義證明函數(shù)f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性；
（2）由于函數(shù)f（x）=x-

4

x

在（0，+∞）上單調(diào)遞增，f（2）=0，故當(dāng)0＜x＜2時，f（x）＜0；當(dāng)x＞2時，f（x）＞0．畫出y=|f（x）|和y=t+

5

4

x的圖象，討論兩圖象交點的個數(shù)，即可得到關(guān)于x的方程|f（x）|=t+

5

4

x（t∈R）的正根的個數(shù)．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=x-

k

x

（k∈R）圖象過點（2，0），
則0=2-

k

2

，解得，k=4．
則當(dāng)k=4時，函數(shù)f（x）=x-

4

x

在（0，+∞）單調(diào)遞增．
證明：?x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁＜x₂，則f(x1)-f(x2)=x1-

4

x1

-x2+

4

x2

=(x1-x2)-

4(x2-x1)

x1x2

=(x1-x2)(1+

4

x1x2

)，
∵x₁，x₂∈（0，+∞），∴1+

4

x1x2

＞0．
∵x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0．∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂）．
則函數(shù)f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增；
（2）函數(shù)f（x）=x-

4

x

，方程|f（x）|=t+

5

4

x，即|x-

4

x

|=t+

5

4

x，
由于函數(shù)f（x）=x-

4

x

在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
f（2）=0，
故當(dāng)0＜x＜2時，f（x）＜0；當(dāng)x＞2時，f（x）＞0．
當(dāng)0＜x＜2時，方程即

4

x

-x=t+

5

4

x，即 t=

4

x

-

9

4

x，
顯然函數(shù)t為減函數(shù)，故有t＞-

5

2

；
當(dāng)x≥2時，方程即 x-

4

x

=t+

5

4

x，
即t=-（

x

4

+

4

x

 ）≤-2，
故當(dāng)t＜-

5

2

或t＞-2時，方程有一正根；
當(dāng)t=-

5

2

或t=-2時，方程有二個正根；
當(dāng)-

5

2

＜t＜-2時，方程有三個正根．

點評：本題考查函數(shù)的單調(diào)性及運用，考查絕對值函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查分離參數(shù)和數(shù)形結(jié)合的思想方法，屬于中檔題和易錯題．