Question

（本小題滿分14分）

已知函數(shù)在上有定義，對(duì)任意實(shí)數(shù)和任意實(shí)數(shù)，都有.

（Ⅰ）證明；

（Ⅱ）證明（其中k和h均為常數(shù)）；

（Ⅲ）當(dāng)（Ⅱ）中的時(shí)，設(shè)，討論在內(nèi)的單調(diào)性.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）證明：見解析；（Ⅱ）

（Ⅲ）在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減, 在區(qū)間（）內(nèi)單調(diào)遞增.

【解析】本小題主要考查函數(shù)的概念、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用、函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值等知識(shí)，考查運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題及推理的能力。

（1）對(duì)于任意的a>0，，均有  ①在①中取

(2) 令時(shí)，∵，∴，則

而時(shí)，，則

而，    ∴，即成立

賦值法得到結(jié)論。

（3）由（Ⅱ）中的③知，當(dāng)時(shí)，，

分析導(dǎo)數(shù)得到單調(diào)區(qū)間。

（Ⅰ）證明：對(duì)于任意的a>0，，均有  ①

  在①中取

  ∴  ②

（Ⅱ）證法一：當(dāng)時(shí)，由①得   

 取，則有     ③

        當(dāng)時(shí)，由①得 

        取，則有    ④

 綜合②、③、④得;

證法二:

令時(shí)，∵，∴，則

而時(shí)，，則

而，    ∴，即成立

令，∵，∴，則

而時(shí)，，則

即成立。綜上知

（Ⅲ）解法1：由（Ⅱ）中的③知，當(dāng)時(shí)，，

從而

又因?yàn)閗>0，由此可得

	－	0	+
	↘	極小值2	↗

所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間（）內(nèi)單調(diào)遞增。

解法2：由（Ⅱ）中的③知，當(dāng)時(shí)，，

設(shè)    則

又因?yàn)閗>0，所以

（i）當(dāng) ；

（ii）當(dāng)

所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減, 在區(qū)間（）內(nèi)單調(diào)遞增.