Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右頂點分別為A、B，上頂點為M（0，1），點P是橢圓C上的動點（異于A、B），直線AP，BP與直線y=3分別交于兩點G、H，且△AMP面積的最大值為1+

2

（1）求橢圓C的方程；
（2）求線段GH的長度的最小值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由題意，知A（-a，0），直線AM的斜率為

1

a

，|AM|=

a2+1

，b=1，橢圓方程為

x2

a2

+y2=1，當△AMP的面積最大時，過點P的直線l平行于AM且與橢圓相切，由此能橢圓C的方程．
（2）由題意知直線AP的斜率k存在，且k≠0，設直線AP的方程為y=k（x+2），從而G（

3

k

-2，3），由

y=k(x+2) x2 4 +y2=1

，得（1+4k²）x²+16k²x+16k²-4=0，由此利用韋達定理結合已知條件能求出線段GH的長度最小值．

解答： 解：（1）由題意，知A（-a，0），直線AM的斜率為

1

a

，
|AM|=

a2+1

，b=1，橢圓方程為

x2

a2

+y2=1，
當△AMP的面積最大時，過點P的直線l平行于AM且與橢圓相切，
設直線l：y=

1

a

x+m，則

y= 1 a x+m x2 a2 +y2=1

，整理，得2x²+2amx+a²（m²-1）=0，
△=4a²m²-8a²（m²-1）=0，解得m=-

2

，或m=

2

（舍），
此時點P到直線AM的距離d=

2 a+a

a2+1

，
∴

1

2

a2+1

×

2 a+a

a2+1

=1+

2

，
解得a=2，∴橢圓C的方程為

x2

4

+y2=1．
（2）由題意知直線AP的斜率k存在，且k≠0，
設直線AP的方程為y=k（x+2），從而G（

3

k

-2，3），
由

y=k(x+2) x2 4 +y2=1

，得（1+4k²）x²+16k²x+16k²-4=0，
設點P（x₁，y₁），則-2•x₁=

16k2-4

1+4k2

，∴x1=

2-8k2

1+4k2

，從而y1=

4k

1+4k2

，
即點P（

2-8k2

1+4k2

，

4k

1+4k2

），又點B（2，0），
則直線PB的斜率為-

1

4k

，
由

y=- 1 4k (x-2) y=3

，得H（-12k+2，3），
∴|GH|=|

3

k

-2+12k-2|=|

3

k

+12k-4|，
若k＞0，則

3

k

+12k≥2

3 k •12k

=12，
當且僅當

3

k

=12k，即k=

1

2

時，等號成立，
此時|GH|=|

3

k

+12k-4|≥8，k＜0，
此時|GH|=|

3

k

+12k-4|≥8，
若k＜0，則

3

k

+12k=-(

3

-k

-12k)≤-2

3 -k •(-12k)

=-12，
當且僅當

3

-k

=-12k，即k=-

1

2

時，等號成立，
此時|GH|=|

3

k

+12k-4|≥16，
綜上，線段GH的長度最小值為8．

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查線段長的最小值的求法，解題時要認真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運用．