Question

已知正實數(shù)x，y滿足x+y+2=4xy，若對任意滿足條件的x，y都有（x+y）²+1-m（x+y）≥0恒成立，則實數(shù)m的取值范圍為（　�。�

• A、(-∞，

  5

  2

  ]
• B、[

  5

  2

  ，+∞)
• C、(-∞，

  3

  2

  ]
• D、[

  3

  2

  ，+∞)

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由（x+y）²+1-m（x+y）≥0可得m≤(x+y)+

1

x+y

，再令t=x+y，則a≤t+

1

t

恒成立，求出t的范圍，問題即轉(zhuǎn)化為求函數(shù)a=t+

1

t

的最小值問題．

解答： 解：因為正實數(shù)x，y滿足x+y+2=4xy，而4xy≤（x+y）²，代入原式得（x+y）²-（x+y）-2≥0，解得（x+y）≥2或（x+y）≤-1（舍去）
由（x+y）²+1-m（x+y）≥0恒成立得m≤(x+y)+

1

x+y

恒成立，令t=x+y∈[2，+∞），
則問題轉(zhuǎn)化為m≤t+

1

t

，t∈[2，+∞)時恒成立，因為函數(shù)y=t+

1

t

在[1，+∞）遞增，
所以要使原式成立只需m≤(t+

1

t

)min=2+

1

2

=

5

2

．
故選A．

點評：本題的關(guān)鍵是將x+y看成一個整體，構(gòu)造出函數(shù)y=t+

1

t

，（t≥2）從而求出其最值解決問題．