Question

(本小題滿分14分)

 已知圓方程為：.

（Ⅰ）直線過點(diǎn)，且與圓交于、兩點(diǎn)，若，求直線的方程;

（Ⅱ）過圓上一動(dòng)點(diǎn)作平行于軸的直線，設(shè)與軸的交點(diǎn)為，若向量，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，并說(shuō)明此軌跡是什么曲線.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）或；                

（Ⅱ）點(diǎn)的軌跡方程是，軌跡是一個(gè)焦點(diǎn)在軸上的橢圓，除去短軸端點(diǎn).  

【解析】(I)先討論直線不存在時(shí)，是否符合題意.

然后再設(shè)直線斜率存在時(shí)的方程為,再利用點(diǎn)到直線的距離公式求出圓心到直線的距離，再利用弦長(zhǎng)公式,建立關(guān)于k的方程，求解即可.

(II)本小題屬于相關(guān)點(diǎn)求軌跡方程.設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為（），點(diǎn)坐標(biāo)為

則點(diǎn)坐標(biāo)是，再根據(jù)，得到，

然后利用點(diǎn)M在圓上，可得到動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程，再通過方程判斷軌跡是什么曲線.

解：（Ⅰ）①當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，則此時(shí)直線方程為，與圓的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)和，其距離為. 滿足題意   ………  1分

②若直線不垂直于軸，設(shè)其方程為，即     

設(shè)圓心到此直線的距離為，則，得  …………3分       

∴，，                                    

故所求直線方程為                               

綜上所述，所求直線為或   …………7分                  

（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為（），點(diǎn)坐標(biāo)為

則點(diǎn)坐標(biāo)是                       …………9分

∵，

∴  即，    …………11分          

又∵，∴                     

∴點(diǎn)的軌跡方程是，               …………13分     

軌跡是一個(gè)焦點(diǎn)在軸上的橢圓，除去短軸端點(diǎn).    …………14分