Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

x

x+2

（x＞0），且f₁（x）=f（x）=

x

x+2

，當(dāng)n∈N^*且n≥2時(shí)，f_n（x）=f[f_n-1（x）]，則f₃（x）=

 

，猜想f_n（x）（n∈N^*）的表達(dá)式為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：歸納推理,函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,推理和證明

分析：由題意依次求出f₂（x）、f₃（x）、f₄（x）的表達(dá)式，利用規(guī)律性猜想出f_n（x）（n∈N^*）的表達(dá)式．

解答： 解：因?yàn)閒₁（x）=f（x）=

x

x+2

，當(dāng)n≥2時(shí)，f_n（x）=f[f_n-1（x）]，
所以f₂（x）=f[f₁（x）]=

x x+2

x x+2 +2

=

x

3x+4

，
f₃（x）=f[f₂（x）]=

x 3x+4

x 3x+4 +2

=

x

7x+8

，
f₄（x）=f[f₃（x）]=

x 7x+8

x 7x+8 +2

=

x

15x+16

，
由以上的式子猜想f_n（x）=

x

(2n-1)x+2n

，
故答案為：

x

7x+8

；f_n（x）=

x

(2n-1)x+2n

（n∈N^*）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查歸納推理，函數(shù)解析式的求解，歸納推理的一般步驟是：（1）通過觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；（2）從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表達(dá)的一般性命題（猜想）．