Question

設函數(shù)f（x）=

|x+1|+|x+2|-a

（1）當a=5時，求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）若函數(shù)f（x）的定義域為R，試求a的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)的定義域及其求法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）a=5時，f(x)=

|x+1|+|x+2|-5

，即|x+1|+|x+2|-5≥0，討論x的取值，去掉絕對值，求出x的取值范圍；
（2）由題意|x+1|+|x+2|-a≥0恒成立，即a≤|x+1|+|x+2|，求出|x+1|+|x+2|的最小值，即得a的取值范圍．

解答： 解：（1）當a=5時，f(x)=

|x+1|+|x+2|-5

，
∵|x+1|+|x+2|-5≥0，
∴

x≥-1 2x-2≥0

，或

-2≤x＜-1 -2≥0

，或

x＜-2 -8-2x≥0

，
解得x≥1，或x≤-4；
∴函數(shù)f（x）的定義域為{x|x≥1，或x≤-4}；（5分）
（2）根據(jù)題意，|x+1|+|x+2|-a≥0恒成立，
即a≤|x+1|+|x+2|恒成立，
又∵|x+1|+|x+2|≥|（x+1）-（x+2）|=1，
∴a≤1，
即a的取值范圍為（-∞，1]．（10分）

點評：本題考查了含有絕對值的不等式的解法與應用問題，解題時應對絕對值進行討論，以便去掉絕對值，是基礎題．