Question

直線l₁：mx-y=1=0，l₂：x+my-1=0的交點為P（x₀，y₀），當實數(shù)m在區(qū)間[-1，1]內(nèi)變化時，l₁、l₂分別過定點A、B．（1）用m表示△ABP的面積S；
（2）求S最大時的實數(shù)m的值．

Answer 1

考點：兩條直線的交點坐標,三角形的面積公式

專題：計算題,直線與圓

分析：（1）求出交點P的坐標，求得直線l₁恒過A（0，-1），l₂恒過B（1，0），再求直線AB的方程，求得AB的長，及點P到直線AB的距離，運用面積公式，求得△ABP的面積，注意m的范圍，化簡即可得到；
（2）由m的范圍，得到m²的范圍，即可得到S的最大值和m的值．

解答： 解：（1）直線l₁：mx-y=1=0，l₂：x+my-1=0
的交點為P（x₀，y₀），聯(lián)立直線方程，解得，P（

1+m

1+m2

，

m-1

m2+1

）．
直線l₁恒過A（0，-1），l₂恒過B（1，0），
直線AB：y=x-1，P到直線AB的距離為d=

| 2 1+m2 -1|

2

，
由于-1≤m≤1，即0≤m²≤1，
則d=

2 1+m2 -1

2

．
則有S=

1

2

|AB|d=

2

2

•

2 1+m2 -1

2

=

1

2

（

2

1+m2

-1）（-1≤m≤1）；
（2）由于-1≤m≤1，即0≤m²≤1，
則當m²=0即m=0，S取得最大，且為

1

2

×（2-1）=

1

2

．

點評：本題考查通過解方程求直線的交點，考查點到直線的距離及兩點的距離公式的運用，考查運算能力，屬于中檔題．