Question

已知函數(shù)f（x）=（x²-2x）•lnx+ax²+2
（1）當(dāng)a=-1時，求f（x）在（1，f（1））處的切線方程；
（2）設(shè)函數(shù)g（x）=f（x）-x-2，若函數(shù)g（x）有且僅有一個零點(diǎn)時，求a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,函數(shù)的零點(diǎn)

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）當(dāng)a=-1時，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求f（x）在（1，f（1））處的切線方程；
（2）構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的極值即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）當(dāng)a=-1時，f（x）=（x²-2x）•lnx-x²+2，
則f′（x）=（2x-2）lnx+（x-2）-2x，
∴f′（1）=-3，f（1）=1，
則f（x）在（1，f（1））處的切線方程為3x+y-4=0；
（2）由g（x）=f（x）-x-2=0，得（x²-2x）•lnx+ax²+2=x+2，
即a=

1-(x-2)lnx

x

，
設(shè)h（x）=

1-(x-2)lnx

x

，
則h′（x）=-

1

x2

-

1

x

+

2-2lnx

x2

=

1-x-2lnx

x2

，
令t（x）=1-x-2lnx，
則t′（x）=-1-

2

x

=

-x-2

x

，
∵t′（x）＜0，t（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)，t（1）=h'（1）=0，
∴當(dāng)0＜x＜1時，h′（x）＞0，
當(dāng)x＞1時，h′（x）＜0，
即h（x）的最大值為h（1）=1，
∴若函數(shù)g（x）有且僅有一個零點(diǎn)時，則a=1．

點(diǎn)評：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，考查學(xué)生的運(yùn)算能力．