Question

已知橢圓方程

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），A（m，0）為橢圓外一定點(diǎn)，過A作直線l交橢圓于P、Q兩點(diǎn)，且有|

AP

|=λ|

AQ

|，Q關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為B，x軸上一點(diǎn)C，當(dāng)l變化時(shí)，證明：點(diǎn)C在BP上的充要條件是C的坐標(biāo)為（

a2

m

，0）．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：連接AB，由于B、Q關(guān)于x軸對稱，可得|

AQ

|=|

AB

|，

| AP |

| AB |

=

| PC |

| CB |

=λ，

AP

=λ

AQ

，

PC

=λ

CB

．設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），C（x₀，0），則B（x₂，-y₂），利用向量相等及

x 2 1

a2

+

y 2 1

b2

=1，

x 2 2

a2

+

y 2 2

b2

=1，可得

(x1+λx2)(λx2-x1)

a2

=λ²-1，即可得出點(diǎn)C的坐標(biāo)為（

a2

m

，0）．

解答： 證明：連接AB，
∵B、Q關(guān)于x軸對稱，
∴|

AQ

|=|

AB

|，
又

| AP |

| AB |

=

| PC |

| CB |

=λ，依題意

AP

與

AQ

同向，

PC

與

CB

同向，
∴

AP

=λ

AQ

，

PC

=λ

CB

．
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），C（x₀，0），則B（x₂，-y₂），
可得y₁=λy₂，x₁-m=λ（x₂-m）①，
x₀-x₁=λ（x₂-x₀）②，
又

x 2 1

a2

+

y 2 1

b2

=1，

x 2 2

a2

+

y 2 2

b2

=1，
∴

(x1+λx2)(λx2-x1)

a2

=λ²-1③，
將①②代入③中得x₀=

a2

m

，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（

a2

m

，0），
由于上述解題過程可逆，∴C在BP上的充要條件是C的坐標(biāo)為（

a2

m

，0）．

點(diǎn)評：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、向量運(yùn)算、充要條件，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．