Question

如圖，E，F(xiàn)，G，H分別為正方體AC₁的棱A₁B₁，A₁D₁，B₁C₁，D₁C₁的中點(diǎn)，
1）求證：面AEF∥面BDHG；
2）求對(duì)角線(xiàn)AC₁與底面ABCD所成角的正弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線(xiàn)與平面所成的角,平面與平面平行的判定

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離

分析：1）連結(jié)D₁B₁，由已知條件得到EF∥GH，且AE∥DH，由此能夠證明面AEF∥面BDHG．
2）連結(jié)AC，AC₁，由C₁C⊥底面ABCD，得到∠C₁AC是AC₁與底面ABCD所成的角，由此能求出結(jié)果．

解答： 解：1）連結(jié)D₁B₁，
∵E，F(xiàn)，G，H分別為正方體AC₁的棱A₁B₁，A₁D₁，B₁C₁，D₁C₁的中點(diǎn)，
∴EF∥D₁B₁，GH∥D₁B₁，AE∥DH，
∴EF∥GH，且AE∥DH，
∵AE∩AF=A，GH∩DH=H，
∴面AEF∥面BDHG．
2）連結(jié)AC，AC₁，∵C₁C⊥底面ABCD，
∴∠C₁AC是AC₁與底面ABCD所成的角，
設(shè)正方體AC₁的棱長(zhǎng)為a，
則C₁C=a，AC=

2

a，AC₁=

3

a，
∴sin∠C₁AC=

C1C

AC1

=

3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面與平面平行的證明，考查直線(xiàn)與平面所成角的正弦值的求法，解題時(shí)要注意空間思維能力的培養(yǎng)，注意合理地化空間問(wèn)題為平面問(wèn)題．