Question

已知方向向量為

v

=（1，

3

）的直線l過點(diǎn)（0，-2

3

）和橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)，且橢圓的離心率為

1

2

．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若過點(diǎn)P（-8，0）的直線與橢圓相交于不同兩點(diǎn)A、B，F(xiàn)為橢圓C的左焦點(diǎn)，求三角形ABF面積的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì),直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：計(jì)算題,不等式的解法及應(yīng)用,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由直線的方向向量可得斜率為

3

，求得直線l的方程，橢圓的焦點(diǎn)為直線l與x軸的交點(diǎn)，求得右焦點(diǎn)，再由離心率公式和a，b，c的關(guān)系，可得a，b，進(jìn)而得到橢圓方程；
（2）設(shè)AB方程為x=my-8，代入橢圓方程，消去x，運(yùn)用判別式大于0和韋達(dá)定理，由S_△ABF=S_△PBF-S_△APF=

1

2

|PF|•|y₂-y₁|，化簡(jiǎn)整理，結(jié)合基本不等式，即可得到最大值．

解答： 解：（1）∵直線l的方向向量為

v

=（1，

3

），
∴直線l的斜率為k=

3

，又∵直線l過點(diǎn)（0，-2

3

），
∴直線l的方程為y=

3

x-2

3

，
∵a＞b，∴橢圓的焦點(diǎn)為直線l與x軸的交點(diǎn)，
∴橢圓的右焦點(diǎn)為（2，0），
∴c=2，又∵

c

a

=

1

2

，
∴a=4，∴b²=12
∴橢圓方程為

x2

16

+

y2

12

=1；
（2）設(shè)AB方程為x=my-8，代入橢圓方程

x2

16

+

y2

12

=1，
整理得（3m²+4）y²-48my+144=0，
△=（48m）²-4×144（3m²+4）＞0，y₁+y₂=

48m

3m2+4

，y₁y₂=

144

3m2+4

，
則S_△ABF=S_△PBF-S_△APF=

1

2

|PF|•|y₂-y₁|=

1

2

×6

(y1+y2)2-4y1y2

=

72 m2-4

3m2+4

=

72 m2-4

3(m2-4)+16

=

72

3 m2-4 + 16 m2-4

≤

72

2 3×16

=3

3

，
當(dāng)且僅當(dāng)3

m2-4

=

16

m2-4

即m²=

28

3

（此時(shí)適合△＞0的條件）取得等號(hào)．
則三角形ABF面積的最大值是3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，主要考查橢圓的離心率的運(yùn)用，同時(shí)考查直線方程和橢圓方程聯(lián)立，消去未知數(shù)，運(yùn)用韋達(dá)定理，以及三角形面積的求法，由基本不等式求得最大值是解題的關(guān)鍵．