Question

已知向量

a

=（2cos（-θ），2sin（-θ）），

b

=（cos（90°-θ），sin（90°-θ））
（1）求證：

a

⊥

b

；
（2）若存在不等于0的實(shí)數(shù)k和t，使

x

=

a

+（t²-3）

b

，

y

=-k

a

+t

b

滿足

x

⊥

y

．試求此時(shí)

k+t2

t

的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：（1）利用誘導(dǎo)公式和數(shù)量積運(yùn)算，只要證明

a

•

b

=0即可；
（2）由

x

⊥

y

，可得

x

•

y

=0，解得k與t的關(guān)系，代入

k+t2

t

，再利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答： 解：（1）∵

a

•

b

=2cos（-θ）cos（90°-θ）+2sin（-θ）sin（90°-θ）=2cosθsinθ-2sinθcosθ=0，
∴

a

⊥

b

．
（2）

a

2=4cos²θ+4sin²θ=4，

b

2=sin2θ+cos2θ=1，
∵

x

⊥

y

，
∴

x

•

y

=[

a

+（t²-3）

b

]•（-k

a

+t

b

）=-k

a

2+t(t2-3)

b

2+[t-k(t2-3)]

a

•

b

=-4k+t（t²-3）=0，（k≠0，t≠0）．
∴

k

t

=

t2-3

4

，
∴

k+t2

t

=

t2-3

4

+t=

1

4

(t-2)2-

7

4

≥-

7

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了誘導(dǎo)公式和數(shù)量積運(yùn)算、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系、二次函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．