【題目】如圖，在四棱錐中，為正三角形，，，為線段的中點(diǎn).

（1）求證：平面；

（2）若，，求直線與平面所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）利用中位線關(guān)系，得出//，然后再根據(jù)題意證明//，即可得出結(jié)論

（2）先證明出平面，然后以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，然后計(jì)算出平面的法向量和，最后，利用公式求解求解即可

（1）證明：取的中點(diǎn)，連接，，則//.

又，，所以，.

又，所以//.

又，，

所以平面//平面.

又平面，

所以//平面.

（2）連接，，

則為中點(diǎn)，，.

又，，所以.

又，所以平面.

以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

，，，，，

，，.

設(shè)平面的法向量，

則得.

設(shè)直線與平面所成角為，則

.

故直線與平面所成角的正弦值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】阿爾法狗(AlphaGo)是第一個(gè)擊敗人類職業(yè)圍棋選手、第一個(gè)戰(zhàn)勝圍棋世界冠軍的人工智能程序,由谷歌(Google)公司的團(tuán)隊(duì)開發(fā).其主要工作原理是“深度學(xué)習(xí)”.2017 年5 月,在中國烏鎮(zhèn)圍棋峰會(huì)上,它與排名世界第一的世界圍棋冠軍柯潔對(duì)戰(zhàn),以3 比0 的總比分獲勝.圍棋界公認(rèn)阿爾法圍棋的棋力已經(jīng)超過人類職業(yè)圍棋頂尖水平.

為了激發(fā)廣大中學(xué)生對(duì)人工智能的興趣,某市教育局組織了一次全市中學(xué)生“人工智能”軟件設(shè)計(jì)競賽,從參加比賽的學(xué)生中隨機(jī)抽取了30 名學(xué)生,并把他們的比賽成績按五個(gè)等級(jí)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì),得到如下數(shù)據(jù)表:

成績等級(jí)

成績(分)

5

4

3

2

1

人數(shù)（名）

4

6

10

7

3

(1)根據(jù)上面的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù),試估計(jì)從本市參加比賽的學(xué)生中任意抽取一人,其成績等級(jí)為“ 或”的

概率;

(2)根據(jù)(I)的結(jié)論,若從該地區(qū)參加比賽的學(xué)生(參賽人數(shù)很多)中任選3 人,記表示抽到成績等級(jí)為“或”的學(xué)生人數(shù),求 的分布列及其數(shù)學(xué)期望；

(3)從這30 名學(xué)生中,隨機(jī)選取2 人,求“這兩個(gè)人的成績之差大于1分”的概率.

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【題目】如圖，CM，CN為某公園景觀湖胖的兩條木棧道，∠MCN=120°，現(xiàn)擬在兩條木棧道的A，B處設(shè)置觀景臺(tái)，記BC=a，AC=b，AB=c（單位：百米）

（1）若a，b，c成等差數(shù)列，且公差為4，求b的值；

（2）已知AB=12，記∠ABC=θ，試用θ表示觀景路線A-C-B的長，并求觀景路線A-C-B長的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，四棱錐中，底面為矩形， 平面， 為的中點(diǎn).

（1）證明： 平面

（2）已知， ， 求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，將邊長為2的正方形沿對(duì)角線折疊，使得平面平面，又平面.

（1）若，求直線與直線所成的角；

（2）若二面角的大小為，求的長度．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，為正三角形，，，，，為線段的中點(diǎn)．

（1）求證：平面；

（2）求證：平面；

（3）求三棱錐的體積．

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【題目】華為手機(jī)作為華為公司三大核心業(yè)務(wù)之一，2018年的銷售量躍居全球第二名．某機(jī)構(gòu)隨機(jī)選取了100名華為手機(jī)的顧客進(jìn)行調(diào)查，并將這100人的手機(jī)價(jià)格按照，，…，分成7組，制成如圖所示的頻率分布直方圖．

（1）若是的2倍，求，的值；

（2）求這100名顧客手機(jī)價(jià)格的平均數(shù)和中位數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中間值作代表，精確到個(gè)位）；

（3）利用分層抽樣的方式從手機(jī)價(jià)格在和的顧客中選取6人，并從這6人中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行回訪，求抽取的2人手機(jī)價(jià)格在不同區(qū)間的概率．

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【題目】設(shè)函數(shù)，其中．

（Ⅰ）已知函數(shù)為偶函數(shù)，求的值；

（Ⅱ）若，證明：當(dāng)時(shí)，；

（Ⅲ）若在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求的取值范圍．

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【題目】已知曲線的參數(shù)方程為：（為參數(shù)），的參數(shù)方程為：（為參數(shù)）.

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（2）若直線的極坐標(biāo)方程為：，曲線上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)，曲線上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)，求的中點(diǎn)到直線的距離.

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