Question

如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ABC=90°，AB=4，BC=4，BB₁=3，M、N分別是B₁C₁和AC的中點(diǎn)．
（1）求異面直線AB₁與C₁N所成的角；
（2）求三棱錐M-C₁CN的體積．

Answer 1

【答案】分析：（1）過A作AQ∥C₁N，交A₁C₁于Q，連接B₁Q，可得∠B₁AQ（或其補(bǔ)角）是異面直線AB₁與C₁N所成角．在△B₁AQ中，分別求出AB₁、AQ和B₁Q的長，結(jié)合余弦定理算出cos∠B₁AQ的值，從而得到異面直線AB₁與C₁N所成的角是arccos；
（2）平面A₁B₁C₁中，過M作MH⊥A₁C₁于H．根據(jù)直三棱柱的性質(zhì)結(jié)合面面垂直的性質(zhì)定理，得到MH⊥平面AA₁C₁C，MH是三棱錐M-C₁CN的高．算出MH的長和△C₁CN的面積，結(jié)合三棱錐的體積公式，可得三棱錐M-C₁CN的體積．
解答：解：（1）平面AA₁C₁C中，過A作AQ∥C₁N，交A₁C₁于Q，連接B₁Q
∴∠B₁AQ（或其補(bǔ)角）就是異面直線AB₁與C₁N所成的角
矩形AA₁C₁C中，N是AC中點(diǎn)，可得Q是A₁C₁中點(diǎn)
Rt△AA₁B₁中，AB₁==5，同理可得AQ=
∵等腰Rt△A₁B₁C₁中，B₁Q是斜邊的中線
∴B₁Q=A₁B₁=2，
△B₁AQ中，cos∠B₁AQ==＞0
∴∠B₁AQ=arccos，即異面直線AB₁與C₁N所成的角等于arccos；
（2）平面A₁B₁C₁中，過M作MH⊥A₁C₁于H
∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥平面A₁B₁C₁，CC₁⊆平面AA₁C₁C
∴平面AA₁C₁C⊥平面A₁B₁C₁，
∵平面AA₁C₁C⊥平面A₁B₁C₁=A₁C₁，MH⊥A₁C₁，
∴MH⊥平面AA₁C₁C，MH是三棱錐M-C₁CN的高線
∵△B₁C₁Q中，M是B₁C₁中點(diǎn)，MH∥B₁Q
∴MH是△B₁C₁Q的中位線，得MH=B₁Q=
∵△C₁CN的面積S=CN×C₁C=×2×3=3
∴三棱錐M-C₁CN的體積V_M-C1CN=S_C1CN×MH=×3×=2
點(diǎn)評：本題給出特殊三棱柱，求異面直線所成角并求錐體的體積，著重考查了線面垂直、面面垂直的判定與性質(zhì)，異面直線所成角的求法和錐體體積公式等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．