Question

關(guān)于函數(shù)f（x）=sin²x-+，下面有四個結(jié)論，其中正確的為________．
①f（x）為奇函數(shù)；②當(dāng)x＞2008時，f（x）恒成立；③f（x）的最大值是；④f（x）的最小值是-．

Answer 1

④
分析：根據(jù)題意：依次分析命題：①運用f（-x）和f（x）關(guān)系，判定函數(shù)的奇偶性；②取特殊值法，判定不等式是否成立；③④運用sin²x=進(jìn)行轉(zhuǎn)化，然后利用cos2x和（）^|x|，求函數(shù)f（x）的最值，綜合可得答案．
解答：y=f（x）的定義域為x∈R，且f（-x）=sin²（-x）-+=sin²x-+=f（x），則函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，因此結(jié)論①錯．
對于結(jié)論②，取特殊值當(dāng)x=1000π時，x＞2008，sin²1000π=0，且（）^1000π＞0
∴f（1000π）=-（）^1000π＜，因此結(jié)論②錯．
又f（x）=-（）^|x|+=1-cos2x-（）^|x|，-1≤cos2x≤1，
∴-≤1-cos2x≤，（）^|x|＞0
故1-cos2x-（）^|x|＜，即結(jié)論③錯．
而cos2x，（）^|x|在x=0時同時取得最大值，
所以f（x）=1-cos2x-（）^|x|在x=0時可取得最小值-，即結(jié)論④是正確的．
故答案為：④
點評：本題涉及到函數(shù)奇偶性的判斷，同時還涉及到三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的范圍問題，此題考查了函數(shù)奇偶性的判斷及借助不等式知識對函數(shù)值域范圍進(jìn)行判斷．