Question

已知點(diǎn)（x，y）滿足

y≥-2x+8 y≤- 1 2 x+5 y≥x-1

，則z=

xy

2x2+y2

的取值范圍

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：簡(jiǎn)單線性規(guī)劃

專題：計(jì)算題,數(shù)形結(jié)合,不等式的解法及應(yīng)用,直線與圓

分析：作出不等式組表示的平面區(qū)域，求得交點(diǎn)A（2，4），B（4，3），C（3，2），再求

y

x

=

y-0

x-0

的兩點(diǎn)斜率的范圍，化簡(jiǎn)z=

xy

2x2+y2

=

y x

2+ y2 x2

，再由換元，運(yùn)用基本不等式，即可得到范圍．

解答： 解：作出不等式組表示的平面區(qū)域，如右圖，
其中A（2，4），B（4，3），C（3，2），
則

y

x

=

y-0

x-0

表示兩點(diǎn)（x，y）與原點(diǎn)的斜率，
由圖可得，k_OC=

2

3

最小，k_OA=2最大，
則

2

3

≤

y

x

≤2，
即有z=

xy

2x2+y2

=

y x

2+ y2 x2

，
令t=

y

x

∈[

2

3

，2]，
則z=

t

2+t2

=

1

t+ 2 t

，由于t+

2

t

在[

2

3

，

2

]上遞減，
在[

2

，2]上遞增，即有2

2

≤t+

2

t

≤

11

3

，
則z的取值范圍是[

3

11

，

2

4

]．
故答案為：[

3

11

，

2

4

]

點(diǎn)評(píng)：本題考查不等式組表示的平面區(qū)域，考查數(shù)形結(jié)合求直線的斜率的范圍，考查基本不等式的運(yùn)用：求最值，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．