Question

已知直線l：mx+ny=1與曲線C：

x= 1 2 cosβ y= 1 2 sinβ

(β為參數(shù))無公共點，求過點（m，n）的直線與曲線ρ²=

36

4cos2θ+9sin2θ

的公共點的個數(shù)？

Answer 1

考點：參數(shù)方程化成普通方程

專題：坐標系和參數(shù)方程

分析：將曲線C的參數(shù)方程化為普通方程，根據(jù)條件和點到直線的距離公式，列出m、n滿足的關(guān)系式，把曲線的極坐標方程化為直角坐標系中的普通方程，判斷出點（m，n）與圓、橢圓的位置關(guān)系，判斷出直線與曲線的交點個數(shù)．

解答： 解：因為曲線C：

x= 1 2 cosβ y= 1 2 sinβ

(β為參數(shù))，所以曲線C普通方程為x²+y²=

1

4

，
即C是以（0，0）為圓心、

1

2

為半徑的圓，
因為直線l：mx+ny=1與曲線C無公共點，
所以

1

m2+n2

＞

1

2

，化簡得：m²+n²＜4，
由曲線ρ²=

36

4cos2θ+9sin2θ

得：4（ρcosθ）²+9（ρsinθ）²=36，
所以直角坐標系中的方程為

x2

9

+

y2

4

=1，
因為點（m，n）滿足m²+n²＜4，
所以點（m，n）在以（0，0）為圓心、2為半徑的圓內(nèi)，
因為

x2

9

+

y2

4

=1是a=3、b=2，且焦點在x軸上的橢圓，
所以以（0，0）為圓心、2為半徑的圓一定在橢圓內(nèi)，
即點（m，n）在橢圓

x2

9

+

y2

4

=1內(nèi)部，
所以過點（m，n）的直線與曲線ρ²=

36

4cos2θ+9sin2θ

的公共點的個數(shù)是2．

點評：本題考查圓的參數(shù)方程、極坐標方程化為直角坐標系中的普通方程，以及點、直線與圓、橢圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．