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已知函數f(x)=lnx,g(x)=
12
x2-2x
(1)設h(x)=f(x+1)-g(x)(其中g′(x)是g(x)的導函數),求h(x)的最大值;
(2)設k∈Z,當x>1時,不等式k(x-l)<xf (x)+3g′(x)+4恒成立,求k的最大值.
分析:(1)求出函數h(x)的定義域,h′(x),利用h′(x)研究函數的單調性,即可求出h(x)的最大值.
(2)由x>1,可知該不等式可變?yōu)閗<
xf(x)+3g′(x)+4
x-1
恒成立,從而可轉化為求函數的最小值問題,利用導數即可求得.
解答:解:(1)h(x)=f(x+1)-g′(x)=ln(x+1)-x+2,(x>-1)
所以h′(x)=
1
x+1
-1=
-x
x+1
,當-1<x<0時,h′(x)>0;當x>0時,h′(x)<0.
因此,h(x)在(-1,0)上單調遞增,在(0,+∞)上單調遞減.
故當x=0時,h(x)取得最大值h(0)=2.
(2)∵xf(x)+3g′(x)+4=xlnx+3(x-2)+4=xlnx+3x-2,
∴當x>1時,不等式k(x-1)<xf(x)+3g′(x)+4可化為
k<
xlnx+3x-2
x-1
=
xlnx+x
x-1
+2
,所以不等式轉化為k<
xlnx+x
x-1
+2
對任意x>1恒成立.
令p(x)=
xlnx+x
x-1
+2
,則p′(x)=
x-lnx-2
(x-1)2
,令r(x)=x-lnx-2(x>1),則r′(x)=1-
1
x
=
x-1
x
>0
所以r(x)在(1,+∞)上單調遞增.因為r(3)=3-ln3-2=1-ln3<0,r(4)=4-ln4-2=2-2ln2>0,
所以r(x)=0在(1,+∞)上存在唯一實根x0,且滿足x0∈(3,4),
當1<x<x0時,r(x)<0,即p′(x)<0;當x>x0時,r(x)>0,即p′(x)>0.
所以函數p(x)=
xlnx+x
x-1
+2
在(1,x0)上單調遞減,在(x0,+∞)上單調遞增,又r(x0)=x0-lnx0-2=0,所以lnx0=x0-2.
所以[p(x)]min=p(x0)=
x0lnx0+x0
x0-1
+2
=
x0(lnx0+1)
x0-1
+2
=
x0(x0-2+1)
x0-1
+2
=x0+2∈(5,6),
所以k<[p(x)]min=x0+2∈(5,6)
故整數k的最大值是5.
點評:本題考查了利用導數求函數最值問題、函數恒成立問題,運用了轉化思想.
練習冊系列答案
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已知函數f(x)=2x-2+ae-x(a∈R)
(1)若曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線平行于x軸,求a的值;
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(1)求函數y=f(x)的最小值;
(2)證明:對任意x∈[1,+∞),lnx≥
2(x-1)
x+1
恒成立;
(3)對于函數f(x)圖象上的不同兩點A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2),如果在函數f(x)圖象上存在點M(x0,y0)(其中x0∈(x1,x2))使得點M處的切線l∥AB,則稱直線AB存在“伴侶切線”.特別地,當x0=
x1+x2
2
時,又稱直線AB存在“中值伴侶切線”.試問:當x≥e時,對于函數f(x)圖象上不同兩點A、B,直線AB是否存在“中值伴侶切線”?證明你的結論.

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1
f(n)
}的前n項和為Sn,則S2012的值為( �。�

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(Ⅰ)求函數f(x)的極值點;
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科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)=
3
x
a
+
3
(a-1)
x
,a≠0且a≠1.
(1)試就實數a的不同取值,寫出該函數的單調增區(qū)間;
(2)已知當x>0時,函數在(0,
6
)上單調遞減,在(
6
,+∞)上單調遞增,求a的值并寫出函數的解析式;
(3)記(2)中的函數圖象為曲線C,試問是否存在經過原點的直線l,使得l為曲線C的對稱軸?若存在,求出直線l的方程;若不存在,請說明理由.

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