Question

已知圓的半徑為,圓心在直線上,且在軸的下方,軸被圓截得的弦長為.

  （Ⅰ）求圓的方程;

（Ⅱ）是否存在斜率為1的直線,使被圓截得的弦，以為直徑的圓過原點(diǎn)？若存在求出直線的方程；若不存在，說明理由.

Answer 1

解: （Ⅰ）設(shè)圓心為

由勾股定理可得（其中d是弦心距,MN是截得的弦長）,

即:.又a > 0,則a =1,圓心(1,-2).

圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是:.    

（Ⅱ）方法一:利用圓中的勾股定理（半徑,半弦長,弦心距）解決問題.

設(shè)以AB為直徑的圓M的圓心為M（a,b）, 的斜率為1.在圓C中有.

由C(1,-2)得即b=-a-1.(*)  

以AB為直徑的圓過原點(diǎn).OM=AM=BM=

由得

把(*)式代入上式,得從而，

故

又（a,b）在直線:x-y+m=0上,故m=b-a，

∴直線的方程為或. 

方法二:利用韋達(dá)定理解決問題

的斜率為1,可設(shè),交點(diǎn)A， 

圓C: 故

  ① 

韋達(dá)定理可得  （◣） 

以AB為直徑的圓過原點(diǎn).則，即 ： ，  

故，  把（◣）式代入得

，∴ 或

經(jīng)檢驗(yàn):均能使①式中的判別式大于0成立,

所以或都是方程的解.

∴直線的方程為 或.