Question

已知f（x）=

x

x+1

（x≠-1）．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）證明對任意x＞y＞0，都有f（x+y）＜f（x）+f（y）．

Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用,不等式的解法及應用

分析：本題（1）通過變形得到相應的反比例函數(shù)的平移式，聯(lián)系反比例函數(shù)的單調(diào)性，可得到本題結(jié)論； （2）通過對不等式右邊的轉(zhuǎn)化變形，利用放縮法，可得到本題結(jié)論．

解答： （1）解：∵f(x)=

x

x+1

=1-

1

x+1

，
∵y=

1

x+1

僅有單調(diào)減區(qū)間為：（-∞，-1），（-1，+∞）．
∴f（x）僅有單調(diào)增區(qū)間為：（-∞，-1），（-1，+∞）．
（2）證明：對任意x＞y＞0，有：
f(x)+f(y)=

x

x+1

+

y

y+1

=

2xy+x+y

xy+x+y+1

，
∴f(x+y)=

x+y

x+y+1

＜

xy+x+y

xy+x+y+1

＜f(x)+f(y)．
∴原命題得證．

點評：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性和不等式證明，本題有一定的思維量，屬于中檔題．