Question

已知四棱錐S-ABCD的底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，SA=AB=AD=2，
E是SC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求異面直線DE與AC所成角；
（Ⅱ）求二面角B-SC-D的大小．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,異面直線及其所成的角

專題：空間角

分析：（Ⅰ）以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AS所在的直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出異面直線DE與AC對(duì)應(yīng)的向量，利用向量的數(shù)量積求解即可；
（Ⅱ）求出平面BSC的法向量，平面SCD的法向量，利用向量的數(shù)量積求二面角B-SC-D的大小．

解答： 解：（Ⅰ）SA⊥底面ABCD，所以SA⊥AD，SA⊥AB
底面ABCD是正方形，所以AB⊥AD…（2分）
以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AS所在的直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則A（0，0，0），B（2，0，0），S（0，0，2），C（2，2，0），D（0，2，0），E（1，1，1）…（4分）
所以

DE

=(1，-1，1)，

AC

=(2，2，0)，

DE

•

AC

=0
所以異面直線DE與AC所成角為90°．…（6分）
（Ⅱ）由題意可知，

SB

=(2，0，-2)，

SC

=(2，2，-2)
設(shè)平面BSC的法向量為

n1

=(x1，y1，z1)，則

n1 • SC =x1+y1-z1=0 n1 • SB =x1-z1=0

，
令z₁=1，則

n1

=(1，0，1)，…（8分）

DS

=(0，-2，2)，

DC

=(2，0，0)
設(shè)平面SCD的法向量為

n2

=(x2，y2，z2)，則

n2 • DC =x2=0 n2 • DS =z2-y2=0

，
令y₂=1，則

n2

=(0，1，1)…（10分）
設(shè)二面角B-SC-D的平面角為α，則|cosα|=

| n1 • n2 |

| n1 || n2 |

=

1

2 × 2

=

1

2

．
顯然二面角B-SC-D的平面角為α為鈍角，所以α=120°
即二面角B-SC-D的大小為120°．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查空間向量數(shù)量積的應(yīng)用，二面角以及異面直線所成角的求法，考查計(jì)算能力．