Question

在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，下列命題：
①（

AA1

+

AD

+

AB

）²=3

AB

2；
②

A1C

•(

A1B1

-

A1A

)=0；
③

AD1

與

A1B

的夾角為60°；
④正方體的體積為|

AB

•

AA1

•

AD

|．
其中正確的命題的序號(hào)是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱的結(jié)構(gòu)特征

專題：空間向量及應(yīng)用

分析：首先，結(jié)合圖形，以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以向量

DA

，

DC

，

DD1

所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)棱長(zhǎng)為1，則D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），A₁（1，0，1），B₁（1，1，1），C₁（0，1，1），D₁（0，0，1），然后，結(jié)合空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，對(duì)四個(gè)命題進(jìn)行逐個(gè)檢驗(yàn)即可．

解答： 解：如圖所示：

以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以向量

DA

，

DC

，

DD1

所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)棱長(zhǎng)為1，則D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），
A₁（1，0，1），B₁（1，1，1），C₁（0，1，1），D₁（0，0，1），
對(duì)于①：

AA1

+

AD

=

AD1

，
∴

AD1

=(-1，0，1)，

AB

=(0，1，0)，
∴

AD1

+

AB

=(-1，1，1)，
∴|

AD1

+

AB

|=

3

，|

AB

|=1，
∴①正確；
對(duì)于②：

A1C

=(-1，1，1) 

A1B1

=(0，1，0)，

A1A

=(0，0，-1)，
∴

A1C

•(

A1B1

-

A1A

)=2．
∴②錯(cuò)誤；
對(duì)于③：

AD1

=(-1，0，0)，

A1B

=(0，1，-1)，
∴

AD1

•

A1B

=0，
∴③正確；
對(duì)于④：
∵

AB

•

AA1

=0，
∴④錯(cuò)誤，
綜上，正確的命題為：①③，
故答案為：①③．

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查了空間直角坐標(biāo)系、空間向量的坐標(biāo)表示和運(yùn)算，屬于中檔題．