Question

已知函數(shù)f(x)＝m(x－1)²－2x＋3＋ln x，m≥1.
(1)當(dāng)m＝時(shí)，求函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,3]上的極小值；
(2)求證：函數(shù)f(x)存在單調(diào)遞減區(qū)間[a，b]；
(3)是否存在實(shí)數(shù)m，使曲線C：y＝f(x)在點(diǎn)P(1,1)處的切線l與曲線C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)？若存在，求出實(shí)數(shù)m的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

(1) 極小值為f(2)＝ln 2－ (2)見解析   (3) 存在實(shí)數(shù)m＝1使得曲線C：y＝f(x)在點(diǎn)P(1,1)處的切線l與曲線C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)

(1)f′(x)＝m(x－1)－2＋ (x＞0)．
當(dāng)m＝時(shí)，f′(x)＝，令f′(x)＝0，得x₁＝2，x₂＝.
f (x)，f′(x)在x∈(0，＋∞)上的變化情況如下表：

x				2	(2，＋∞)
f′(x)	＋	0	－	0	＋
f(x)	單調(diào)遞增	極大值	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增

所以當(dāng)x＝2時(shí)，函數(shù)f(x)在x∈[1,3]上取到極小值，且極小值為f(2)＝ln 2－.
(2)證明：令f′(x)＝0，得mx²－(m＋2)x＋1＝0.(*)
因?yàn)棣ぃ?(m＋2)²－4m＝m²＋4＞0，所以方程(*)存在兩個(gè)不等實(shí)根，記為a，b(a＜b)．
因?yàn)閙≥1，所以，
所以a＞0，b＞0，即方程(*)有兩個(gè)不等的正根，因此f′(x)＜0的解為(a，b)．
故函數(shù)f(x)存在單調(diào)遞減區(qū)間[a，b]．
(3)因?yàn)閒′(1)＝－1，所以曲線C：y＝f(x)在點(diǎn)P(1,1)處的切線l的方程為y＝－x＋2.若切線l與曲線C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則方程m(x－1)²－2x＋3＋ln x＝－x＋2有且只有一個(gè)實(shí)根．
顯然x＝1是該方程的一個(gè)根．
令g(x)＝m(x－1)²－x＋1＋ln x，則g′(x)＝m(x－1)－1＋＝.
當(dāng)m＝1時(shí)，有g(shù)′(x)≥0恒成立，所以g(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以x＝1是方程的唯一解，m＝1符合題意．
當(dāng)m＞1時(shí)，由g′(x)＝0，得x₁＝1，x₂＝，則x₂∈(0,1)，易得g (x)在x₁處取到極小值，在x₂處取到極大值．
所以g(x₂)＞g(x₁)＝0，又當(dāng)x趨近0時(shí)，g(x)趨近－∞，所以函數(shù)g(x)在內(nèi)也有一個(gè)解，m＞1不符合題意．
綜上，存在實(shí)數(shù)m＝1使得曲線C：y＝f(x)在點(diǎn)P(1,1)處的切線l與曲線C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)．