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12.已知函數(shù)f(x)=|x2-2x-3|-a分別滿足下列條件,求實數(shù)a的取值范圍.
(1)函數(shù)有兩個零點;
(2)函數(shù)有三個零點;
(3)函數(shù)有四個零點.

分析 因為函數(shù)f(x)=|x2-2x-3|-a的零點個數(shù)不易討論,所以可轉(zhuǎn)化為方程|x2-2x-3|-a=0根的個數(shù)來討論,即轉(zhuǎn)化為方程|x2-2x-3|=a的根的個數(shù)問題,再轉(zhuǎn)化為函數(shù)f(x)=|x2-2x-3|與函數(shù)f(x)=a交點個數(shù)問題.

解答 解:函數(shù)f(x)=|x2-2x-3|-a的零點個數(shù)等價于方程|x2-2x-3|-a=0根的個數(shù),
即方程|x2-2x-3|=a的根的個數(shù).
故設(shè)f(x)=|x2-2x-3|={x22x3x1x3x2+2x+31x3和g(x)=a
分別作出這兩個函數(shù)的圖象(如圖),
它們交點的個數(shù),即為函數(shù)f(x)=|x2-2x-3|-a的零點個數(shù).
∴(1)若函數(shù)有兩個零點,則a=0或a>4.
(2)若函數(shù)有三個零點,則a=4.
(3)函數(shù)有四個零點,則0<a<4.

點評 考查根據(jù)函數(shù)零點個數(shù)確定參數(shù)的范圍問題,含絕對值的二次函數(shù)的作圖問題,主要考查函數(shù)零點的常見處理方法.考查數(shù)形結(jié)合思想,函數(shù)與方程思想,化歸思想.屬于中檔題.

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