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6.已知拋物線C的焦點F與橢圓3x2+4y2=3的右焦點重合.
(1)求拋物線C的方程;
(2)過焦點F作互相垂直的兩條直線分別交拋物線C于A,M和N,B,求四邊形ABMN的面積S的最小值及S最小值時對應的兩條直線方程.

分析 (1)求得橢圓方程的標準形式,求得右焦點坐標,設拋物線的方程為y2=2px,求得p=1,即可得到所求方程;
(2)設過點F的直線方程為y=k(x-12),由{y=kx12y2=2x,得k2x2-(k2+2)x+k24=0,由此利用韋達定理,弦長公式,結合已知條件能求出四邊形ABMN面積的最小值及直線方程.

解答 解:(1)橢圓3x2+4y2=3,即為x2+y234=1,
可得右焦點F為(12,0),
設拋物線的方程為y2=2px,即有p2=12,
可得p=1,
拋物線的方程為y2=2x;
(2)設過點F的直線方程為y=k(x-12),
A(x1,y1),M(x2,y2),
{y=kx12y2=2x,得k2x2-(k2+2)x+k24=0,
由韋達定理,得x1+x2=1+2k2,x1x2=14,
∴|AM|=1+k21+2k221=2+2k2
同理,|BN|=2+2k2,
∴四邊形ABCD的面積S=12(2+2k2)(2+2k2)=2(2+k2+1k2
≥2(2+2k21k2)=8,
當且僅當k2=1k2,即k=±1時,取等號,
四邊形ABMN面積的最小為8,此時直線的方程為y=±(x-12).

點評 本題考查拋物線方程的求法,考查四邊形面積的最小值的求法,解題時要認真審題,注意弦長公式的合理運用.

練習冊系列答案
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(1)求橢圓C的方程;
(2)設直線l與橢圓C交于A,B兩點.
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