分析 由拋物線的定義可得動圓圓心Q的軌跡的標準方程,由題意可得c=1,a=2,求得b,進而得到橢圓方程;顯然直線m的斜率存在,不妨設(shè)直線m的直線方程為:y=kx-1,分別代入拋物線方程和橢圓方程,運用韋達定理和弦長公式,以及點到直線的距離公式,求得三角形的面積,再由不等式的性質(zhì),即可得到所求最小值.
解答 解:依題意,由拋物線的定義易得動圓圓心Q的軌跡M的標準方程為:x2=-4y,
依題意可設(shè)橢圓N的標準方程為y2a2+x22=1,
顯然有c=1,a=2,b=√a2−c2=√3,
可得橢圓N的標準方程為y24+x23=1;
顯然直線m的斜率存在,
不妨設(shè)直線m的直線方程為:y=kx-1①
聯(lián)立橢圓N的標準方程y24+x23=1,有(3k2+4)x2-6kx-9=0,
x1+x2=6k4+3k2,x1x2=-94+3k2,
設(shè)B(x1,y1),C(x2,y2)
則有|BC|=√1+k2|x1-x2|=√1+k2•√36k2(4+3k2)2+364+3k2=12(1+k2)4+3k2,
又A(0,2)到直線m的距離d1=3√1+k2,
∴S1=12|BC|d1=18√1+k24+3k2,
再將①式聯(lián)立拋物線方程x2=-4y有x2+4kx-4=0,
同理易得|DE|=4(1+k2),d2=1√1+k2,
∴S2=2√1+k2,
∴Z=S1S2=36(1+k2)4+3k2=12(1-14+3k2)≥12(1-14)=9,
∴當(dāng)k=0時,Zmin=9.
故答案為:9.
點評 本題考查直線和圓相切的條件,同時考查拋物線的定義和橢圓方程的運用,注意聯(lián)立直線方程,運用韋達定理和弦長公式,考查化簡整理的運算能力,屬于中檔題.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
ωx+φ | 0 | π2 | π | 3π2 | 2π |
x | x1 | π3 | x2 | 7π3 | x3 |
y | 0 | √3 | 0 | -√3 | 0 |
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