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1.已知動圓過定點F(0,-1),且與直線l:y=1相切,橢圓N的對稱軸為坐標軸,O點為坐標原點,F(xiàn)是其一個焦點,又點A(0,2)在橢圓N上.若過F的動直線m交橢圓于B,C點,交軌跡M于D,E兩點,設(shè)S1為△ABC的面積,S2為△ODE的面積,令Z=S1S2,Z的最小值是9.

分析 由拋物線的定義可得動圓圓心Q的軌跡的標準方程,由題意可得c=1,a=2,求得b,進而得到橢圓方程;顯然直線m的斜率存在,不妨設(shè)直線m的直線方程為:y=kx-1,分別代入拋物線方程和橢圓方程,運用韋達定理和弦長公式,以及點到直線的距離公式,求得三角形的面積,再由不等式的性質(zhì),即可得到所求最小值.

解答 解:依題意,由拋物線的定義易得動圓圓心Q的軌跡M的標準方程為:x2=-4y,
依題意可設(shè)橢圓N的標準方程為y2a2+x22=1,
顯然有c=1,a=2,b=a2c2=3,
可得橢圓N的標準方程為y24+x23=1;
顯然直線m的斜率存在,
不妨設(shè)直線m的直線方程為:y=kx-1①
聯(lián)立橢圓N的標準方程y24+x23=1,有(3k2+4)x2-6kx-9=0,
x1+x2=6k4+3k2,x1x2=-94+3k2
設(shè)B(x1,y1),C(x2,y2
則有|BC|=1+k2|x1-x2|=1+k236k24+3k22+364+3k2=121+k24+3k2,
又A(0,2)到直線m的距離d1=31+k2,
∴S1=12|BC|d1=181+k24+3k2,
再將①式聯(lián)立拋物線方程x2=-4y有x2+4kx-4=0,
同理易得|DE|=4(1+k2),d2=11+k2,
∴S2=21+k2
∴Z=S1S2=361+k24+3k2=12(1-14+3k2)≥12(1-14)=9,
∴當(dāng)k=0時,Zmin=9.
故答案為:9.

點評 本題考查直線和圓相切的條件,同時考查拋物線的定義和橢圓方程的運用,注意聯(lián)立直線方程,運用韋達定理和弦長公式,考查化簡整理的運算能力,屬于中檔題.

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