Question

已知向量

m

=（cosx，sinx），

n

=（cosx，

3

cosx），函數(shù)f（x）=

m

•

n

+a（a∈R且a為常數(shù)）
（1）若f（x）在[0，

π

2

]上的最大值與最小值的和為2，求a的值；
（2）A、B、C是△ABC的三個內(nèi)角，且f（A）=a+1，若

1+sin2B

cos2B-sin2B

=-3，求tanC的值．

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的運算,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),平面向量及應(yīng)用

分析：（1）由向量的數(shù)量積與三角恒等變換求出f（x）的解析式，再求出f（x）在[0，

π

2

]上的最值，從而求出a的值；
（2）根據(jù)f（A）=a+1，求出A的值，

1+sin2B

cos2B-sin2B

=-3求出tanB的值，再求出tanC的值即可．

解答： 解：（1）∵向量

m

=（cosx，sinx），

n

=（cosx，

3

cosx），
∴f（x）=

m

•

n

+a
=cos²x+

3

sinxcosx+a
=

1+cos2x

2

+

3

2

sin2x+a
=sin（2x+

π

6

）+a+

1

2

；
又∵x∈[0，

π

2

]，
∴2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，
∴sin（2x+

π

6

）∈[-

1

2

，1]，
∴a≤sin（2x+

π

6

）+a+

1

2

≤a+

3

2

；
∴a+（a+

3

2

）=2，
解得a=

1

4

；
（2）∵f（A）=sin（2A+

π

6

）+a+

1

2

=a+1，
∴sin（2A+

π

6

）=

1

2

；
又∵A是△ABC的內(nèi)角，
∴0＜A＜π，
∴

π

6

＜2A+

π

6

＜

13π

6

，
∴2A+

π

6

=

5π

6

，
解得A=

π

3

；
又∵

1+sin2B

cos2B-sin2B

=-3，
∴

(sinB+cosB)2

cos2B-sin2B

=

sinB+cosB

cosB-sinB

=

tanB+1

1-tanB

=-3，
解得tanB=2；
∴tanC=tan[π-（A+B）]=-tan（A+B）
=-

tan π 3 +tanB

1-tan π 3 •tanB

=-

3 +2

1- 3 ×2

=

8+5 3

11

．

點評：本題考查了三角函數(shù)的恒等變換問題，也考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題和平面向量的應(yīng)用問題，是綜合題目．