Question

已知函數(shù)f(x)=loga(ax-

x

)(a＞0，a≠1為常數(shù)）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的定義域；
（Ⅱ）若a=2，x∈[1，9]，求函數(shù)f（x）的值域；
（Ⅲ）若函數(shù)y=a^f（x）的圖象恒在直線y=-2x+1的上方，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)最值的應(yīng)用,函數(shù)的定義域及其求法,函數(shù)的值域,函數(shù)的圖象,對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）根據(jù)定義域是指使表達(dá)式有意義的x的取值范圍，列出不等式，求解即可得到答案；
（Ⅱ）根據(jù)a=2求出f（x）的解析式，令g（x）=2x-

x

，再令t=

x

，則可以將g（x）轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的二次函數(shù)，求出g（x）的取值范圍，再利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，即可求得f（x）的值域；
（Ⅲ）將函數(shù)y=a^f（x）的圖象恒在直線y=-2x+1的上方，轉(zhuǎn)化為y=a^f（x）＞-2x+1對(duì)(

1

a2

，+∞)恒成立，即ax-

x

＞-2x+1對(duì)(

1

a2

，+∞)恒成立，利用參變量分離轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的取值范圍，求解即可得到實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）∵函數(shù)f(x)=loga(ax-

x

)(a＞0，a≠1為常數(shù)），
∴ax-

x

＞0，即ax＞

x

，
∵a＞0，則x＞0，
∴x＜a²x²，則x＞

1

a2

，
∴函數(shù)f（x）的定義域?yàn)?span id="bxrpa5g" class="MathJye">(

1

a2

，+∞)；
（Ⅱ）∵a=2，
∴f（x）=log₂（2x-

x

），
令g（x）=2x-

x

，再令t=

x

，則x=t²，
∵x∈[1，9]，
∴t∈[1，3]，
則y=2t²-t=2（t-

1

4

）²-

1

8

在[1，3]上單調(diào)遞增，
∴當(dāng)t=1時(shí)，y取得最小值1，
當(dāng)t=3時(shí)，y取得最大值15，
∴1≤g（x）≤15，
∴l(xiāng)og₂1≤log₂（2x-

x

）≤log₂15，
∴0≤f（x）≤log₂15，
∴函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇0，log₂15]；
（Ⅲ）∵函數(shù)y=a^f（x）的圖象恒在直線y=-2x+1的上方，
∴y=a^f（x）＞-2x+1對(duì)(

1

a2

，+∞)恒成立，即ax-

x

＞-2x+1對(duì)(

1

a2

，+∞)恒成立，
∴a＞

1

( x )2

+

1

x

-2，
又∵x∈(

1

a2

，+∞)，
∴

1

x

∈（0，a），則

1

( x )2

+

1

x

-2＜a²+a-2，
∴a＞a²+a-2，且a≠1，解得a∈(0，

2

)且a≠1，
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍a∈(0，

2

)且a≠1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的定義域及其求法，函數(shù)的值域，函數(shù)的圖象，對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域．對(duì)于函數(shù)的定義域是指使得函數(shù)的解析式有意義的取值范圍，要熟悉基本初等函數(shù)的定義域以及常見(jiàn)函數(shù)的限制條件，求函數(shù)的值域要注意考慮定義域的取值，再根據(jù)函數(shù)的解析式進(jìn)行判斷該使用何種方法求解值域．屬于中檔題．