Question

已知f（x）=3^x，并且f（a+2）=18，g（x）=3^ax-4^x的定義域?yàn)閰^(qū)間[-1，1]．
（1）求函數(shù)g（x）的解析式；
（2）求函數(shù)g（x）的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的值域,函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出a的值，然后求g（x）的解析式．
（2）根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，利用換元法轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)求值域．

解答： 解：（1）∵f（a+2）=18，∴3^a+2=9•3^a=18，即3^a=2，∴a=log₃2，
∴g（x）=3^ax-4^x=（3^a）^x-4^x=(3log32)x-4x=2x-4x．
（2）∵g（x）=2^x-4^x=-（2^x-

1

2

）²+

1

4

，
∵-1≤x≤1，
∴

1

2

≤2x≤2，
∴設(shè)t=2^x，則

1

2

≤t≤2，
則函數(shù)g（x）等價(jià)為m（t）=-（t-

1

2

）²+

1

4

，
∴m（t）單調(diào)遞減，
∴-2≤m(t)≤

1

4

，
即函數(shù)g（x）的值域?yàn)閇-2，

1

4

]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查指數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)，利用換元法將函數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的一元二次函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵．