Question

設(shè)圓M：x²+y²=8，將圓上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)壓縮到原來(lái)的，得到曲線C．點(diǎn)M（2，1），平行于OM的直線l在y軸上的截距為m（m≠0），l交曲線C于A、B兩個(gè)不同點(diǎn)．
（1）求曲線C的方程；
（2）求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）在曲線C上任取一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P（x，y），根據(jù)圖象的變換可知點(diǎn)（x，2y）在圓x²+y²=8上．代入圓方程即可求得x和y的關(guān)系式，即曲線C的方程．
（2）根據(jù)題意可得直線l的方程，進(jìn)而與橢圓方程聯(lián)立，消去y，進(jìn)而根據(jù)判別式大于0求得m的范圍，進(jìn)而根據(jù)m≠0，最后綜合可得答案．
解答：解：（1）在曲線C上任取一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P（x，y），則點(diǎn)（x，2y）在圓x²+y²=8上．
所以有x²+（2y）²=8，即曲線C的方程為．
（2）∵直線l平行于OM，且在y軸上的截距為m，又k_OM=，
∴直線l的方程為y=x+m．
由，得x²+2mx+2m²-4=0．
又∵直線l交曲線C于A、B兩個(gè)不同點(diǎn)，
∴△=（2m）²-4（2m²-4）＞0，解得-2＜m＜2，
又∵m≠0，
∴m的取值范圍是-2＜m＜0或0＜m＜2．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的關(guān)系．考查了學(xué)生分析問(wèn)題的能力及數(shù)學(xué)化歸思想．