Question

設(shè)圓M：x²+y²=8，將曲線(xiàn)上每一點(diǎn)的縱坐標(biāo)壓縮到原來(lái)的

1

2

，對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)不變，得到曲線(xiàn)C．經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（2，1），平行于OM的直線(xiàn)l在y軸上的截距為m（m≠0），l交曲線(xiàn)C于A(yíng)、B兩個(gè)不同點(diǎn)．
（1）求曲線(xiàn)C的方程；
（2）求m的取值范圍；
（3）求證直線(xiàn)MA、MB與x軸始終圍成一個(gè)等腰三角形．

Answer 1

分析：（1）在曲線(xiàn)C上任取一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P（x，y），則點(diǎn)（x，2y）在圓x²+y²=8上．所以有x²+（2y）²=8．整理后就得到曲線(xiàn)C的方程．
（2）由題設(shè)條件可知直線(xiàn)l的方程為y=

1

2

x+m．聯(lián)立方程組后根據(jù)直線(xiàn)l與橢圓交于A(yíng)、B兩個(gè)不同點(diǎn)可知△＞0，由此能夠推導(dǎo)出m的取值范圍．
（3）設(shè)直線(xiàn)MA、MB的斜率分別為k₁，k₂，只需證明k₁+k₂=0即可．

解答：解：（1）在曲線(xiàn)C上任取一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P（x，y），則點(diǎn)（x，2y）在圓x²+y²=8上．所以有x²+（2y）²=8．整理得曲線(xiàn)C的方程為

x2

8

+

y2

2

=1．
它表示一個(gè)焦點(diǎn)在x軸上的橢圓．
（2）∵直線(xiàn)l平行于OM，且在y軸上的截距為m，又KOM=

1

2

，
∴直線(xiàn)l的方程為y=

1

2

x+m．
由

y= 1 2 x+m x2 8 + y2 2 =1.

∴x2+2mx+2m2-4=0，
∵直線(xiàn)l與橢圓交于A(yíng)、B兩個(gè)不同點(diǎn)，∴△=（2m）²-4（2m²-4）＞0，
解得-2＜m＜2且m≠0．∴m的取值范圍是-2＜m＜0或0＜m＜2．
（3）設(shè)直線(xiàn)MA、MB的斜率分別為k₁，k₂，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則k1=

y1-1

x1-2

，k2=

y2-1

x2-2

，由x²+2mx+2m²-4=0可得x₁+x₂=-2m，x₁x₂=2m²-4.k1+k2=

y1-1

x1-2

，+

y2-1

x2-2

=

(y1-1)(x2-2)+(y2-1)(x1-2)

(x1-2)(x2-2)

=

( 1 2 x1+m-1)(x2-2)+( 1 2 x2+m-1)(x1-2)

(x1-2)(x2-2)

=

x1x2+(m-2)(x1+x2)-4(m-1)

(x1-2)(x2-2)

=

2m2-4+(m-2)(-2m)-4(m-1)

(x1-2)(x2-2)

=

2m2-4-2m2+4m-4m+4

(x1-2)(x2-2)

=0．
k₁+k₂=0．故直線(xiàn)MA、MB與x軸始終圍成一個(gè)等腰三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查橢圓和直線(xiàn)的位置關(guān)系，難度較大，解題時(shí)要注意公式的靈活運(yùn)用，仔細(xì)審題，避免不必要的錯(cuò)誤．