Question

8．已知函數(shù)f（x）=lnx+ax，g（x）=ax²+2x，其中a為實(shí)數(shù)，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．
（1）若a=1，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（2）若函數(shù)y=f（x）的極大值為-2，求實(shí)數(shù)a的值；
（3）若a＜0，且對(duì)任意的x∈[1，e]，f（x）≤g（x）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算f（1），f′（1），從而求出切線方程即可；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，得到函數(shù)的極大值，從而求出a的值即可；
（3）即a≥$\frac{lnx-2x}{{x}^{2}-x}$，設(shè)g（x）=$\frac{lnx-2x}{{x}^{2}-x}$，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出g（x）的最大值，從而求出a的范圍即可．

解答 解：（1）a=1時(shí)，f（x）=lnx+x，
f′（x）=1+$\frac{1}{x}$，f（1）=1，f′（1）=2，
故切線方程是：y-1=2（x-1），
即：2x-y-1=0；
（2）f（x）的定義域是（0，+∞），
f′（x）=$\frac{1}{x}$+a=$\frac{ax+1}{x}$，
a≥0時(shí)，f（x）在（0，+∞）遞增，無極值，
a＜0時(shí)，令f′（x）＞0，解得：x＜-$\frac{1}{a}$，令f′（x）＜0，解得：x＞-$\frac{1}{a}$，
故f（x）在（0，-$\frac{1}{a}$）遞增，在（-$\frac{1}{a}$，+∞）遞減，
故f（x）的極大值是f（-$\frac{1}{a}$）=ln（-$\frac{1}{a}$）-1，
若函數(shù)y=f（x）的極大值為-2，
則ln（-$\frac{1}{a}$）-1=-2，解得：a=-e；
（3）若a＜0，且對(duì)任意的x∈[1，e]，f（x）≤g（x）恒成立，
即x∈[1，e]時(shí)，ax²-lnx-（a-2）x≥0恒成立．
即a≥$\frac{lnx-2x}{{x}^{2}-x}$，設(shè)g（x）=$\frac{lnx-2x}{{x}^{2}-x}$，
則g′（x）=$\frac{2x（x-lnx）+lnx+x-1}{{{（x}^{2}-x）}^{2}}$，
當(dāng)x＞1時(shí)，g′（x）＞0，
∴g（x）在區(qū)間（1，+∞）上遞增，
∴當(dāng)x∈[1，e]時(shí)，g（x）≤g（e）=$\frac{1-2e}{{e}^{2}-e}$，
∴a＜0，且對(duì)任意的．x∈[1，e]，f（x）≥（a-2）x恒成立，
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為[$\frac{1-2e}{{e}^{2}-e}$，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值以及由函數(shù)恒成立的問題求參數(shù)的取值范圍，求解本題關(guān)鍵是記憶好求導(dǎo)的公式以及極值的定義，對(duì)于函數(shù)的恒成立的問題求參數(shù)，要注意正確轉(zhuǎn)化，恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化可以大大降低解題難度．