Question

若不等式ax²＞lnx+1對(duì)任意x∈（0，+∞）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問(wèn)題

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：先分離參數(shù)，化為a＞

lnx+1

x2

，在x∈（0，+∞）上恒成立，然后只需求出f（x）=

lnx+1

x2

，（x＞0）的最大值即可．結(jié)合導(dǎo)數(shù)的知識(shí)容易解決問(wèn)題．

解答： 解：若不等式ax²＞lnx+1對(duì)任意x∈（0，+∞）恒成立，
只需a＞

lnx+1

x2

，在x∈（0，+∞）上恒成立，
令f（x）=

lnx+1

x2

，（x＞0）
因?yàn)?span id="zgnlbbr" class="MathJye">f′(x)=-

2lnx+1

x3

，（x＞0），
令f′（x）=0得x=

1

e

，易知當(dāng)x∈(0，

1

e

)時(shí)，f′（x）＞0；當(dāng)x∈(

1

e

，+∞)時(shí)，f′（x）＜0．
故f（x）在(0，

1

e

]上遞增，在(

1

e

，+∞)上遞減．
所以f(x)max=f(

1

e

)=

e

2

．
故要使原不等式恒成立，只需a＞

e

2

，
即所求a的范圍是（

e

2

，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了不等式恒成立問(wèn)題的基本思路，一般是轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題求解，能分離參數(shù)的盡量分離參數(shù)，注意導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)最值問(wèn)題中的應(yīng)用．