Question

點(diǎn)P為底邊長(zhǎng)為2

3

，高為2的正三棱柱表面上的動(dòng)點(diǎn)，MN是該棱柱內(nèi)切球的一條直徑，則

PM

•

PN

取值范圍是（　　）

• A、[0，2]
• B、[0，3]
• C、[0，4]
• D、[-2，2]

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：計(jì)算題,平面向量及應(yīng)用,空間位置關(guān)系與距離

分析：由題意，問(wèn)題等價(jià)于已知MN是邊長(zhǎng)為2

3

的正△ABC內(nèi)切圓的一條直徑，P為邊AB上的一動(dòng)點(diǎn)，求

PM

•

PN

的取值范圍．建立直角坐標(biāo)系，利用正三角形的中心的性質(zhì)，可得內(nèi)切圓的半徑r=1．可得正△ABC內(nèi)切圓的方程為x²+（y-1）²=1．設(shè)P（t，0）（-

3

≤t≤

3

），M（x₀，y₀），N（-x₀，2-y₀），再利用數(shù)量積運(yùn)算即可得出．

解答： 解：由題意，問(wèn)題等價(jià)于已知MN是邊長(zhǎng)為2

3

的正△ABC
內(nèi)切圓的一條直徑，P為邊AB上的一動(dòng)點(diǎn)，
求

PM

•

PN

的取值范圍．
建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，
∵⊙D是邊長(zhǎng)為2

3

的正△ABC內(nèi)切圓，
∴內(nèi)切圓的半徑r=

1

3

|OC|=

1

3

×

3

2

×2

3

=1．
∴正△ABC內(nèi)切圓的方程為x²+（y-1）²=1．
設(shè)P（t，0）（-

3

≤t≤

3

），
M（x₀，y₀），N（-x₀，2-y₀）．

PM

=（x₀-t，y₀），

PN

=（-x₀-t，2-y₀），
∴x₀²+（y₀-1）²=1，即x₀²+y₀²-2y₀=0．
∴

PM

•

PN

=t²-（x₀²+y₀²-2y₀）=t²，
∵-

3

≤t≤

3

．∴t²∈[0，3]．
∴

PM

•

PN

的取值范圍的取值范圍是[0，3]．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正三角形的中心的性質(zhì)、內(nèi)切圓的方程、數(shù)量積的運(yùn)算等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．