已知函數(shù)f(x)=
2x-1
2x+1
,x∈[-1,1].
(Ⅰ)判斷函數(shù)的奇偶性;
(Ⅱ)證明:函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)為增函數(shù);
(Ⅱ)解不等式f(x-
1
2
)+f(
1
4
-2x)<0
考點(diǎn):函數(shù)奇偶性的判斷,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明
專(zhuān)題:計(jì)算題,證明題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用
分析:(Ⅰ)先判斷定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),再計(jì)算f(-x),與f(x)比較,即可得到奇偶性;
(Ⅱ)運(yùn)用單調(diào)性的定義,注意作差、變形、定符號(hào)、下結(jié)論等步驟;
(Ⅲ)先由奇函數(shù)的定義,再由單調(diào)遞增,即可得到不等式組
-1≤x-
1
2
≤1
-1≤2x-
1
4
≤1
x-
1
2
<2x-
1
4
,解出它們即可.
解答: (Ⅰ)解:定義域?yàn)閇-1,1]關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),
f(-x)=
2-x-1
2-x+1
=
1-2x
1+2x
=-f(x),
則f(x)是奇函數(shù);
(Ⅱ)證明:設(shè)-1≤m<n≤1,
則f(m)-f(n)=
2m-1
2m+1
-
2n-1
2n+1
=
2(2m-2n)
(2m+1)(2n+1)

由于-1≤m<n≤1,則0<2m<2n,
即有2m-2n<0,2m+1>0,2n+1>0,
則有f(m)-f(n)<0,
則函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)為增函數(shù);
(Ⅲ)解:不等式f(x-
1
2
)+f(
1
4
-2x)<0

即為f(x-
1
2
)<-f(
1
4
-2x),
由f(-x)=-f(x),可得f(x-
1
2
)<f(2x-
1
4
),
再由函數(shù)f(x)在[-1,1]內(nèi)為增函數(shù),
則有
-1≤x-
1
2
≤1
-1≤2x-
1
4
≤1
x-
1
2
<2x-
1
4
,即有
-
1
2
≤x≤
3
2
-
3
8
≤x≤
5
8
x>-
1
4
,
解得,-
1
4
<x
5
8

則解集為:(-
1
4
,
5
8
].
點(diǎn)評(píng):本題考查函數(shù)的奇偶性的判斷,函數(shù)的單調(diào)性的證明,注意運(yùn)用定義,考查奇偶性和單調(diào)性的運(yùn)用,解不等式,考查運(yùn)算能力,屬于中檔題和易錯(cuò)題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=x2+4x+2,若對(duì)于?x∈[1,2]不等式f(x)-m>0恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

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已知雙曲線mx2-ny2=1(mn>0)的漸近線方程為y=±
3
4
x,此雙曲線的離心率為( 。
A、
5
3
B、
5
4
C、
5
4
5
3
D、
7
4

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某市為了倡導(dǎo)居民節(jié)約水資源,自來(lái)水實(shí)行分段收費(fèi).收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下:每戶(hù)每月用水不超過(guò)4噸時(shí),每噸為1.80元,當(dāng)用水超過(guò)4噸時(shí),超過(guò)部分每噸3.00元,已知甲、乙兩用戶(hù)某月用水量為5:3.
(1)設(shè)甲用戶(hù)用水量為5x,求該月甲、乙兩戶(hù)共交水費(fèi)y元關(guān)于x的函數(shù);
(2)若甲、乙兩戶(hù)該月共交水費(fèi)26.4元,求出甲、乙兩戶(hù)該月的用水量和水費(fèi).

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湖面上漂著一個(gè)小球,湖水結(jié)冰后將球取出,冰面上留下了一個(gè)直徑為6cm,深為1cm的空穴,則該半徑是
 
 cm,表面積是
 
 cm2..

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

在△ABC中,已知2
3
asinB=3b且cosB=cosC,A為銳角,則△ABC的形狀為( 。
A、等邊三角形
B、鈍角三角形
C、直角三角形
D、等腰直角三角形

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=mx+
1
nx
+
1
2
(m,n是常數(shù)),且f(1)=2,f(2)=
11
4

(1)求m,n的值;
(2)當(dāng)x∈[1,+∞)時(shí),判斷f(x)的單調(diào)性并證明;
(3)若不等式f(1+2x2)>f(x2-2x+4)成立,求實(shí)數(shù)x的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,若bcosC+ccosB=-2acosC,
(1)求角C的大;
(2)若
CA
CB
=-4,c=2
7
且a>b,求邊a,b的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知log73=a,log74=b,用a,b表示log4948為
 

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