Question

若函數f（x）=x³-3a²x+2（a＞0）有三個零點，則正數a的范圍是

 

．

Answer 1

考點：函數的零點與方程根的關系

專題：導數的概念及應用,導數的綜合應用

分析：函數y=f（x）有三個零點，等價于函數y=f（x）與x軸有三個交點，即函數的極大值為正，極小值為負，利用導數法構造關于a的不等式，可得正數a的范圍．

解答： 解：∵f（x）=x³-3a²x+2，
∴f'（x）=3x²-3a²，
令f'（x）=0，
解得：x₁=-a，x₂=a，
∵在（-∞，-a）上，f'（x）＞0，函數f（x）單調遞增，
在（-a，a）上，f'（x）＜0，函數f（x）單調遞減，
在（a，+∞）上，f'（x）＞0，函數f（x）單調遞增．
若函數y=f（x）有三個零點，等價于函數y=f（x）與x軸有三個交點，
于是

f(-a)＞0⇒2a3+2＞0⇒a＞-1 f(a)＜0⇒-2a3+2＜0⇒a＞1

，
又a＞0，
綜上：正數a的取值范圍是：a＞1，
故答案為：a＞1

點評：本題考查的知識點是函數的零點與方程的根，將問題轉化為函數y=f（x）與x軸有三個交點，進而轉化為函數的極大值為正，極小值為負，是解答的關鍵．