2.已知函數(shù)f(x)=ax2-(a+4)x+4.
(1)若對(duì)任意的x∈(0,1],都有f(x)>(a-1)x2恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)解不等式f(x)>0.

分析 (1)對(duì)任意的x∈(0,1],都有f(x)>(a-1)x2恒成立可轉(zhuǎn)化為a+4<(x+$\frac{4}{x}$)min,令g(x)=x+$\frac{4}{x}$,利用對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性,可求得g(x)min=g(1)=5,從而可求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)對(duì)f(x)=ax2-(a+4)x+4=(x-1)(ax-4)>0,可分a<0、a=0、0<a<4、a=4、a>4五種情況討論,即可解得不等式f(x)>0的解集.

解答 解:(1)∵f(x)=ax2-(a+4)x+4,
∴任意的x∈(0,1],f(x)>(a-1)x2恒成立?ax2-(a+4)x+4>(a-1)x2(0<x≤1)恒成立,
即(a+4)x<4+x2恒成立,
∵x∈(0,1],
∴a+4<(x+$\frac{4}{x}$)min,令g(x)=x+$\frac{4}{x}$,由對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性知,g(x)=x+$\frac{4}{x}$在區(qū)間(0,1]上單調(diào)遞減,
∴g(x)min=g(1)=5,
∴a+4<5,解得:a<1.
即實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-∞,1);
(2)∵f(x)=ax2-(a+4)x+4=(x-1)(ax-4)>0,
∴當(dāng)a=0時(shí),解得:x<1;
當(dāng)a<0時(shí),解得$\frac{4}{a}$<x<1;
當(dāng)0<a<4時(shí),解得:x>$\frac{4}{a}$或x<1;
當(dāng)a=4時(shí),解得:x≠1;
當(dāng)a>4時(shí),解得:解得:x<$\frac{4}{a}$或x>1;
綜上所述,當(dāng)a=0時(shí),不等式f(x)>0的解集為{x|x<1};
當(dāng)a<0時(shí),不等式的解集為{x|$\frac{4}{a}$<x<1};
當(dāng)0<a<4時(shí),不等式的解集為{x|x>$\frac{4}{a}$或x<1};
當(dāng)a=4時(shí),不等式的解集為{x|x≠1};
當(dāng)a>4時(shí),不等式的解集為{x|x<$\frac{4}{a}$或x>1}.

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)恒成立問(wèn)題,考查一元二次不等式的解法,突出考查等價(jià)轉(zhuǎn)化思想、分類(lèi)討論思想、函數(shù)方程思想的綜合運(yùn)用,考查運(yùn)算求解能力,屬于難題.

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(Ⅰ)用莖葉圖表示這兩組數(shù)據(jù);
(Ⅱ)現(xiàn)要從中選派一人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽,你認(rèn)為選派哪位學(xué)生參加合適?說(shuō)明理由.

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x3456
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