Question

已知函數f（x）=2asinωxcosωx+2

3

cos²ωx-

3

（a＞0，ω＞0）的最大值為2，且最小正周期為π．
（I）求函數f（x）的解析式及其對稱軸方程；
（II）若f（a）=

4

3

，求sin（4α+

π

6

）的值．

Answer 1

考點：兩角和與差的正弦函數,由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式

專題：三角函數的圖像與性質

分析：（Ⅰ）根據條件函數最值和周期，利用三角函數的公式進行化簡即可求a和ω的值，即可求出函數的解析式和對稱軸方程；
（Ⅱ）根據f（a）=

4

3

，利用余弦函數的倍角公式進行化簡即可求sin（4α+

π

6

）的值．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=2asinωxcosωx+2

3

cos²ωx-

3

=asin2ωx+

3

cos2ωx=

a2+3

sin（2ωx+φ）
∵f（x）的最小正周期為T=π
∴2ω=

2π

T

=2，ω=1，
∵f（x）的最大值為2，
∴

a2+3

=2，
即a=±1，
∵a＞0，∴a=1．
即f（x）=2sin（2x+

π

3

）．
由2x+

π

3

=

π

2

+kπ，
即x=

π

12

+

kπ

2

，（k∈Z）．
（Ⅱ）由f（α）=

4

3

，得2sin（2α+

π

3

）=

4

3

，
即sin（2α+

π

3

）=

2

3

，
則sin（4α+

π

6

）=sin[2（2α+

π

3

）-

π

2

]=-cos2（2α+

π

3

）=-1+2sin²（2α+

π

3

）=-1+2×（

2

3

）²=-

1

9

．

點評：本題主要考查三角函數的圖象和性質，利用條件求出函數的解析式是解決本題的關鍵．同時也考查三角函數倍角公式的應用．