Question

已知函數(shù)f（x）=-2x²+2ax-4a-a²，其中x∈[0，1]．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f（x）在給定區(qū)間上的最小值；
（2）若f（x）在給定區(qū)間內(nèi)有最大值-5，求a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=-2(x-

1

2

)2-

9

2

，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得函數(shù)f（x）在給定區(qū)間上的最小值；
（2）若f（x）在給定區(qū)間內(nèi)有最大值-5，分當(dāng)

a

2

≥1即a≥2時(shí)，當(dāng)0≤a＜2時(shí)，當(dāng)a＜0時(shí)，求出滿足條件的a值，綜合討論結(jié)果，可得答案．

解答： 解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，
f（x）=-2x²+2ax-4a-a²=-2x²+2x-5=-2(x-

1

2

)2-

9

2

，
其圖象如下圖所示：由圖象觀察知

當(dāng)x=0或x=1時(shí)，f（x）取最小值為-5，
（2）f(x)=-2(x-

a

2

)2-4a-

a2

2

1）當(dāng)

a

2

≥1即a≥2時(shí)

f（x）_max=f（1）=-2-2a-a²=-5，解得：a=-3或1，
此時(shí)不存在滿足條件的a值；
2）當(dāng)0≤a＜2時(shí)，
f(x)max=f(

a

2

)=-4a-

a2

2

=-5，解得：a=

-4+ 26

2

∴a=

-4+ 26

2

；
3）當(dāng)a＜0時(shí)

f（x）_max=f（0）=-4a-a²=-5，解得：a=1或-5，
∴a=-5
綜合1）2）3）知a=-5或

-4+ 26

2

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答的關(guān)鍵．