Question

20．在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面邊長為2$\sqrt{2}$，BD與AC交于點O，
（1）求直線D₁O與平面ABCD所成角．
（2）求點D到ACD₁的距離．

Answer 1

分析 （1）由題意，∠D₁OD是直線D₁O與平面ABCD所成角；
（2）過D作DE⊥D₁O，則DE⊥平面ACD₁，DE為點D到ACD₁的距離，利用等面積可得結論．

解答 解：（1）由題意，∠D₁OD是直線D₁O與平面ABCD所成角，
∵正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面邊長為2$\sqrt{2}$，
∴DO=2，D₁D=2$\sqrt{2}$，
∴tan∠D₁OD=$\sqrt{2}$，
∴∠D₁OD=arctan$\sqrt{2}$，
∴直線D₁O與平面ABCD所成角是arctan$\sqrt{2}$．
（2）過D作DE⊥D₁O，則DE⊥平面ACD₁，DE為點D到ACD₁的距離．
∵DO=2，D₁D=2$\sqrt{2}$，D₁O=2$\sqrt{3}$，
∴由等面積可得DE=$\frac{2×2\sqrt{2}}{2\sqrt{3}}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
∴點D到ACD₁的距離為$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．

點評 本題考查線面角，考查點到平面距離的計算，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．