Question

如圖，四棱錐P-ABCD的俯視圖是菱形ABCD，頂點P的投影恰好為A．
（1）求證：BD⊥PC；
（2）若AC=2a，BD=4a，四棱錐P-ABCD的體積V=2a³，求PC的長．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）證明PA⊥BD，AC⊥BD，可得BD⊥平面PAC，即可證明BD⊥PC；
（2）利用V=

1

3

×SABCD×PA，P-ABCD的體積V=2a³，求出PA，即可求出PC．

解答： （1）證明：依題意，PA⊥底面ABCD…（2分）
因為BD?底面ABCD，所以PA⊥BD…（3分）
依題意，ABCD是菱形，AC⊥BD…（4分）
因為PA∩AC=A，所以BD⊥平面PAC…（6分），
所以BD⊥PC…（7分）．
（2）解：V=

1

3

×SABCD×PA…（8分），SABCD=

1

2

×AC×BD=4a2…（10分），
因為P-ABCD的體積V=2a³，
所以2a3=

1

3

×4a2×PA，所以PA=

3

2

a…（12分），
所以PC=

PA2+AC2

=

5

2

a…（13分）．

點評：本題考查線面垂直的判定與性質(zhì)，考查體積的計算，正確運用線面垂直的判定與性質(zhì)是關(guān)鍵．