【題目】如圖，在三棱柱中，每個(gè)側(cè)面均為正方形，為底邊的中點(diǎn)，為側(cè)棱的中點(diǎn).

（Ⅰ）求證：∥平面；

（Ⅱ）求證：平面；

（Ⅲ）求直線與平面所成角的正弦值.

【答案】（Ⅰ）見(jiàn)解析（Ⅱ）見(jiàn)解析（Ⅲ）直線與平面所成角的正弦值為

【解析】

證明：（Ⅰ）設(shè)的交點(diǎn)為O,連接，連接.

因?yàn)?/span>為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn),

所以∥且.又是中點(diǎn)，

所以∥且,

所以∥且.

所以，四邊形為平行四邊形.所以∥.

又平面,平面,則∥平面.

(Ⅱ)因?yàn)槿庵鱾?cè)面都是正方形，所以，.

所以平面.

因?yàn)?/span>平面，所以.

由已知得，所以,

所以平面.

由（Ⅰ）可知∥，所以平面.

所以.

因?yàn)閭?cè)面是正方形，所以.

又，平面，平面,

所以平面.

（Ⅲ）解: 取中點(diǎn)，連接.

在三棱柱中，因?yàn)?/span>平面，

所以側(cè)面底面.

因?yàn)榈酌?/span>是正三角形，且是中點(diǎn)，

所以，所以側(cè)面.

所以是在平面上的射影.

所以是與平面所成角.

.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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（Ⅰ）理論上，小球落入4號(hào)容器的概率是多少？

（Ⅱ）一數(shù)學(xué)興趣小組取3個(gè)小球進(jìn)行試驗(yàn)，設(shè)其中落入4號(hào)容器的小球個(gè)數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.

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（1）求證：平面平面；

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為等邊三角形，平面平面；點(diǎn)分別為的中點(diǎn)．

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（2）求直線與平面所成角的正弦值．

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⑴求各個(gè)年級(jí)應(yīng)選取的學(xué)生人數(shù)；

⑵若從被選取的10名學(xué)生中任選3人，求這3名學(xué)生分別來(lái)自三個(gè)年級(jí)的概率；

⑶若被選取的10人中的某學(xué)生能答對(duì)10道題中的7道題，另外3道題回答不對(duì)，記表示該名學(xué)生答對(duì)問(wèn)題的個(gè)數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望.

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