【題目】已知四棱柱的所有棱長(zhǎng)都為2，且.

（1）證明：平面平面；

（2）求直線與平面所成的角的正弦值.

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】

（1）要證平面平面，轉(zhuǎn)化為證明平面，通過證明及可得；

（2）連接，由（1）可得為直線與平面所成的角，在中求角的正弦值.另外可以用向量法求線面角.

（1）證明：設(shè)與的交點(diǎn)為，連接，

因?yàn)?/span>，，，

所以，

所以，

又因?yàn)?/span>是的中點(diǎn)，所以，

另由且，

所以平面，

而平面，所以平面平面.

（2）（法一）連接，由（1）知平面，

所以為直線與平面所成的角，

在菱形中，，

故，

所以

又因?yàn)?/span>，所以，

所以.

（法二）過作直線平面，分別以、、為、、軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

依題意，得，，，，，

所以，，，

設(shè)平面的法向量為，

所以，令，則，即，

所以，

即直線與平面所成的角的正弦值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在三棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為的正三角形，點(diǎn)在底面上的射影恰是的中點(diǎn)，側(cè)棱和底面成角．

（1）若為側(cè)棱上一點(diǎn)，當(dāng)為何值時(shí)，；

（2）求二面角的余弦值大�。�

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【題目】至年底，我國(guó)發(fā)明專利申請(qǐng)量已經(jīng)連續(xù)年位居世界首位，下表是我國(guó)年至年發(fā)明專利申請(qǐng)量以及相關(guān)數(shù)據(jù).

注：年份代碼～分別表示～.

（1）可以看出申請(qǐng)量每年都在增加，請(qǐng)問這幾年中哪一年的增長(zhǎng)率達(dá)到最高，最高是多少？

（2）建立關(guān)于的回歸直線方程（精確到），并預(yù)測(cè)我國(guó)發(fā)明專利申請(qǐng)量突破萬件的年份.

參考公式：回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)分別為，

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【題目】如圖，在四棱錐中，底面是矩形，，，底面.

（1）當(dāng)為何值時(shí)，平面？證明你的結(jié)論；

（2）若在邊上至少存在一點(diǎn)，使，求的取值范圍.

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【題目】謝爾賓斯基三角形（Sierpinski triangle）是一種分形幾何圖形，由波蘭數(shù)學(xué)家謝爾賓斯基在1915年提出，它是一個(gè)自相似的例子，其構(gòu)造方法是：

（1）取一個(gè)實(shí)心的等邊三角形（圖1）；

（2）沿三邊中點(diǎn)的連線，將它分成四個(gè)小三角形；

（3）挖去中間的那一個(gè)小三角形（圖2）；

（4）對(duì)其余三個(gè)小三角形重復(fù)（1）（2）（3）（4）（圖3）.

制作出來的圖形如圖4，….

若圖1（陰影部分）的面積為1，則圖4（陰影部分）的面積為（ ）

A.B.C.D.

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【題目】關(guān)于函數(shù)＝|cosx|+cos|2x|有下列四個(gè)結(jié)論：①是偶函數(shù)；②π是的最小正周期；③在[π，π]上單調(diào)遞增；④的值域?yàn)?/span>[﹣2，2]．上述結(jié)論中，正確的個(gè)數(shù)為（　�。�

A.1B.2C.3D.4

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（m為參數(shù)），以坐標(biāo)點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為ρcos（θ+）＝1．

（1）求直線l的直角坐標(biāo)方程和曲線C的普通方程；

（2）已知點(diǎn)M （2，0），若直線l與曲線C相交于P、Q兩點(diǎn)，求的值．

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【題目】如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，且AB＝1，BC＝2， ∠ABC=60°，PA⊥平面ABCD，AE⊥PC于E，

下列四個(gè)結(jié)論：①AB⊥AC；②AB⊥平面PAC；③PC⊥平面ABE；④BE⊥PC．正確的個(gè)數(shù)是( )

A.1B.2C.3D.4

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【題目】如圖，在三棱柱中，每個(gè)側(cè)面均為正方形，為底邊的中點(diǎn)，為側(cè)棱的中點(diǎn).

（Ⅰ）求證：∥平面；

（Ⅱ）求證：平面；

（Ⅲ）求直線與平面所成角的正弦值.

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