Question

合肥一中生活區(qū)內(nèi)建有一塊矩形休閑區(qū)域ABCD，AB=100米，BC=50

3

米，為了便于同學(xué)們平時(shí)休閑散步，學(xué)校后勤部門將在這塊區(qū)域內(nèi)鋪設(shè)三條小路OE、EF和OF，考慮到學(xué)校整體規(guī)劃，要求O是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊BC上，點(diǎn)F在邊AD上，且OE⊥OF，如圖所示．
（1）設(shè)∠BOE=α，試將△OEF的周長L表示成α的函數(shù)關(guān)系式，并求出此函數(shù)的定義域；
（2）經(jīng)核算，三條路每米鋪設(shè)費(fèi)用均為800元，試問如何設(shè)計(jì)才能使鋪路的總費(fèi)用最低？并求出最低總費(fèi)用．

Answer 1

考點(diǎn)：根據(jù)實(shí)際問題選擇函數(shù)類型

專題：應(yīng)用題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）在直角三角形中寫出三邊長的公式，從而得到周長公式，根據(jù)題意寫出定義域即可；
（2）利用換元法，設(shè)t=sinα+cosα，α∈[

π

6

，

π

3

]，從而得到l=

50(t+1)

t2-1 2

=

100

t-1

∈[100(

2

+1)，100(

3

+1)]，從而求最小值．

解答： 解：（1）在Rt△BOE中，OE=

50

cosα

，
在Rt△AOF中，OF=

50

sinα

在Rt△OEF中，EF=

50

sinαcosα

，
當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)D時(shí)，角α最小，α=

π

6

，
當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)C時(shí)，角α最大，α=

π

3

，
則l=

50(sinα+cosα+1)

sinαcosα

，
定義域?yàn)?span id="olpyiy8" class="MathJye">[

π

6

，

π

3

]．
（2）設(shè)t=sinα+cosα，α∈[

π

6

，

π

3

]，
則

3 +1

2

≤t≤

2

，
l=

50(t+1)

t2-1 2

=

100

t-1

∈[100(

2

+1)，100(

3

+1)]．
則當(dāng)α=

π

4

時(shí)，lmin=100(

2

+1)，
總費(fèi)用最低為80000(

2

+1)元．

點(diǎn)評：本題考查了學(xué)生將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力及最值的求法，屬于中檔題．